Abraham de Moivre: Bir Fransız Mültecisinin Londra Kahvelerinde Olasılık İcat Etmesi

"Bugün ölümümün matematik tarihini söyleyebilirim"

1754 yılı, Londra. 87 yaşındaki Fransız matematikçi Abraham de Moivre yatağında. Çok hasta, hareketsiz, ama matematik düşünüyor.

Bir keşfini arkadaşlarına anlatır: "Her gün 15 dakika daha fazla uyuyorum." Bu uyku artışı aritmetik dizi halinde devam ederse, toplam 24 saatlik bir güne ulaştığında, uyanmayacağım. Hesaplar yapar — tarihi: 27 Kasım 1754.

Gerçekten o gün öldü. Matematikçi öldüğü tarihi kendi olasılık argümanıyla öngörmüştü.

Bu, Abraham de Moivre'in karakteristik öyküsüdür: yaşamı boyunca olasılık matematiği ile düşünmek, ölüm anına kadar.

Erken yaşam — Vitry-le-François

• Doğum: 26 Mayıs 1667, Vitry-le-François, Fransa.
• Aile: Yahudi-Hıristiyan mühtedi (Huguenot) ailesi. Babası cerrah, sıkı bir Protestan.

Genç de Moivre Protestan eğitimi aldı. Matematik yeteneği erken belirdi. Sedan, Saumur ve Paris'te eğitim — özel matematik dersleri.

1685: Nantes Fermanı'nın iptali

Louis XIV 1685'te Nantes Fermanı'nı iptal etti — Protestanları (Huguenotları) hoşgörü gösteren yasa. Yüz binlerce Huguenot Fransa'yı terk etti.

De Moivre 5 yıl Fransa'da kaldı, Prior of Saint-Martin hapishanesinde tutuldu. 1688'de — Glorious Revolution ile İngiltere'ye sürgün geldi. 21 yaşında.

İngiltere artık onun vatansız vatanı oldu. Bir daha Fransa'ya dönmedi.

Londra'da hayatta kalma — kahvehaneler

1688'den sonra de Moivre Londra'da:

• Slaughter's Coffee House (St Martin's Lane).
• Old Slaughter's Coffee House.
• Buralarda özel matematik dersleri vererek geçindi.
• Aristokrat ailelere ödev kontrolü.
• Sigorta hesabı danışmanlığı.

Bu, profesyonel matematikçinin pre-akademik versiyonu. Üniversite pozisyonu yoktu (Anglikan olmadığı için ve yabancı olduğu için).

Doctrine of Chances (1718)

İlk büyük eseri: The Doctrine of Chances: A Method of Calculating the Probabilities of Events in Play. Olasılık teorisinin ilk modern ders kitabı.

İçinde:

• Bağımsız olayların çarpım kuralı.
• Koşullu olasılık.
• Beklenen değer hesabı.
• Binom dağılımının sistematik analizi.
• Olasılık paradoksları: St. Petersburg, vs.

Bu kitap, Pascal-Fermat'nın (1654 mektupları) sezgilerini organize teoriye dönüştürdü.

İlginç: kitap kumarbazlar için yazıldı. De Moivre kart oyunları, zar atışları, çekilişleri matematik olarak analiz etti.

Stirling formülü — De Moivre'nin oran

1733'te Miscellanea Analytica eserinde, de Moivre büyük sayılar için faktöriyel yaklaşıklığı türetti:

$n! \sim B \cdot n^{n+1/2} e^{-n}$

Burada $B$ bir sabit. James Stirling 1730'larda bunun $B = \sqrt{2\pi}$ olduğunu kanıtladı:

$n! \sim \sqrt{2\pi n} \cdot n^n e^{-n}$

Bu Stirling formülüdür. Ama temel sezgi de Moivre'in. Sonradan "de Moivre-Stirling formülü" diye anılır.

Normal dağılımın ilk kanıtı (1733)

Approximatio ad Summam Terminorum Binomii in Seriem expansi (1733): de Moivre'nin küçük broşürü. Sadece birkaç kişiye dağıttı.

Bu eserde binom dağılımının normal dağılıma yakınsadığını kanıtladı:

$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi n p (1-p)}} e^{-(k - np)^2/(2np(1-p))}$

De Moivre-Laplace teoremi olarak bilinir. Modern merkezi limit teoreminin ilk versiyonudur.

İlginç: Gauss normal dağılımı bağımsız olarak 1809'da hata teorisi bağlamında geliştirdi — 80 yıl sonra. De Moivre öncüydü.

De Moivre formülü

Belki en bilineni:

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

De Moivre formülü veya De Moivre teoremi. Kompleks sayıları trigonometriye bağlar.

Bu formül ile trigonometrik özdeşliklerin otomatik üretimi mümkün olur:

• $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$.
• $\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$.
• vs.

Modern dijital sinyal işleme bu formülü her saniye milyonlarca kez kullanır.

Diğer katkıları

Üreten fonksiyonlar

Olasılık problemlerini çözmek için üreten fonksiyon yöntemini geliştirdi. Modern kombinatoryal olasılığın temel araçlarından.

Sigorta matematiği

Yıllık ve yaşam sigortası hesaplarının matematik temeli. Modern aktüer biliminin başlangıcı.

Sayı teorisi

Tekrarlanan kesir, rekürsiyon ile çözüm — modern dinamik programlamanın atası.

Akademik tanınma

İngiliz akademik dünyası de Moivre'i yabancı olarak gördü. Uzun süre üniversite pozisyonu reddedildi.

• 1697: Royal Society üyesi — Newton'un destek mektubuyla.
• Newton ona "arkadaşım" derdi. Principia Mathematica hakkında soruları olduğunda de Moivre'e gönderdi.
• Halley, De Witt ile yakın akademik dostluk.
• Yine de profesörlük asla almadı.

İlginç biyografik gerçek: Newton son yıllarında, kendisine yöneltilen matematik sorusuna "De Moivre'e sor; benden çok daha iyi anlıyor" dediği rapor edilir.

Kişilik

De Moivre:

• Yoksul, mütevazı, sade.
• Hayatın her gününü matematik düşünerek geçirdi.
• Asla evlenmedi, çocuğu yoktu.
• Londra kahvehanelerinde arkadaşlık çevresi edinmişti — Newton, Halley, James Stirling.
• Manevi açıdan derin: Huguenot inancını sürdürdü.

Hayatın son yılları

De Moivre Londra'da fakir öldü. 87 yaşında, 27 Kasım 1754. Yukarıda anlatılan uyku-saat hesabı efsanesi.

Cenazesi Saint Martin-in-the-Fields kilisesinde yapıldı. Mezarı belirsiz — bilinen mezar taşı yok.

Mirası

• Doctrine of Chances: olasılık teorisinin ilk modern kitabı.
• Normal dağılımın ilk kanıtı (1733): Gauss'tan 80 yıl önce.
• De Moivre formülü: kompleks sayılar + trigonometri.
• De Moivre-Stirling formülü: asimptotik faktöriyel.
• Aktüer matematiğinin başlangıcı.

Bir Fransız Huguenot mültecisinin Londra kahvehanelerinde geçirdiği 66 yıl. Üniversite pozisyonu yoktu. Yine de:

• Modern olasılık teorisinin kurucusu.
• Normal dağılımın matematik öncüsü.
• Newton'un en yakın matematik arkadaşı.

Akademik tanınma yokken bile derin matematik üretmek mümkündür — de Moivre'in mirasının bir mesajı. Modern akademisyenler her gün ondan beslenen formülleri kullanırken, onun hayatı, dini hoşgörüsüzlüğün bilim için trajedisinin ve yetenekli mültecinin kabul eden ülkeye katkısının iki taraflı dersidir.

Bir mültecinin kahvehane teması — modern matematiğin en derin sezgilerinden bazılarını üretti.