Adolf Hurwitz: Einstein'ın Zürih'te Bulduğu Sessiz Matematik Ustası

Sessiz dahi

Bir matematikçi tüm öğrencileri tarafından sevilir — derslerine yetişmek için kürsünün önüne sıralanırlar. Bir başkası Einstein'ın hocası olur. Bir başkası 19. yüzyıl matematiğinin en evrensel figürlerinden biridir.

Bunların üçü de aynı kişi: Adolf Hurwitz. Berlin, Königsberg, Zürih'te dolaştı; sessiz, mütevazı, hastalıklı; ama her dokunduğu konuda iz bıraktı: cebir, sayı teorisi, kompleks analiz, modüler formlar, geometri.

Erken yıllar — Hannover'den Berlin'e

• Doğum: 26 Mart 1859, Hildesheim (Hannover), Almanya.
• Aile: Yahudi tüccar ailesi; baba kumaş tüccarı. Hurwitz altıncı çocuktu.
• İlk hoca: Liseden matematiksel yetenek fark edildi; Hermann Schubert (sayım geometrisinin kâşifi) ona özel ders verdi.

15 yaşında Schubert ile birlikte ilk makalesini yayımladı. 17 yaşında Münih Üniversitesi'nde.

Berlin (1877-79) — Weierstrass, Kronecker, Kummer

19. yüzyılın ortasında Berlin Üniversitesi matematiğin merkeziydi. Hurwitz orada:

• Karl Weierstrass: analizin titizleştiricisi.
• Leopold Kronecker: sayı teorisi; "Tanrı tam sayıları yarattı."
• Ernst Kummer: ideal teorisi.

Bu üç farklı geleneğin (analiz + cebir + sayı teorisi) ortak öğrencisi olmak Hurwitz'in tüm kariyerini şekillendirdi. Hurwitz uzmanlaşmadı — evrenseldi.

Felix Klein ve Leipzig (1880-82)

Doktora için Felix Klein'a katıldı. Tezi: Über die elliptischen Modulfunktionen (Eliptik Modüler Fonksiyonlar). Bu tez modüler form teorisinin temel taşlarından biri sayılır. 1881'de bitirdi; 22 yaşında doktor oldu.

Klein onun hakkında sonradan şöyle yazdı: "Hurwitz hızlı düşünmeyen, ama derin düşünen öğrenciydi. Söylediği her cümle yontulmuştu."

Königsberg (1884-92) — Hilbert ve Minkowski ile

1884'te Königsberg Üniversitesi profesörlüğü. Burada iki genç matematikçinin ortak hocası oldu:

• David Hilbert: o zaman 22, doktora öğrencisi.
• Hermann Minkowski: 20, doktora.

Üçü Königsberg sokaklarında "matematik yürüyüşü" yapardı. Hilbert sonradan: "Hurwitz ile her gün öğleden sonra yürüyüş. Bir saat boyunca o yıl üretilen tüm matematik üzerine konuşurduk. Ben onunla bir profesörden çok bir arkadaşla konuşur gibi öğrendim."

Hilbert ve Minkowski 20. yüzyıl matematiğinin iki devi olacak — Hurwitz onların ortak yetiştiricisi.

Zürih ETH (1892-1919) ve Einstein

1892'de ETH Zürih profesörlüğü teklif edildi. Hurwitz kabul etti — Königsberg'in soğuk ikliminin kronik hastalıklarını kötüleştirdiğine inanıyordu. Zürih'in havası daha iyiydi.

ETH'da yıllarca matematik bölümünün ana figürü oldu. Öğrencileri arasında:

• Albert Einstein (1896-1900, fizik diploması). Hurwitz'in derslerine girdi. Einstein matematik derslerine erken yıllarda pek katılmadı — bunu sonradan pişmanlıkla belirtti: "Hurwitz'in derslerini dinlemeliydim. Genel görelilik üzerine çalışırken matematik eksiğim yüzünden Grossmann'dan yardım istemek zorunda kaldım."
• Marcel Grossmann: Einstein'ın yakın arkadaşı, sonra genel görelilik matematiğini ona öğreten. Grossmann da Hurwitz'in öğrencisiydi.
• George Pólya, László Fejér, Hermann Weyl: hepsi Hurwitz'den ders aldı.

Ana matematik katkıları

Kuaterniyon tam sayıları (Hurwitz tam sayıları)

Hamilton'ın kuaterniyonları $\mathbb{H} = \{a + bi + cj + dk\}$ — keşfedilmiş ama "tam sayı" yapısı belirsizdi. Hurwitz 1896'da sistematik tanımı verdi: Hurwitz tam sayıları $\{a + bi + cj + dk : a, b, c, d \in \mathbb{Z} \text{ veya hepsi} \frac{1}{2}\mathbb{Z}\}$.

Bu halka Ökliddir: bölme kalanı küçültür. Dolayısıyla tek çarpan ayrışımı vardır. Bu yapı Lagrange dört kare teoremine çok şık bir kanıt sundu — kuaterniyon normu $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ olduğu için.

Hurwitz otomorfizm teoremi (1893)

Riemann yüzeyleri üzerinde otomorfizm grupları için keskin sınır:

Cinsi $g \geq 2$ olan kompakt Riemann yüzeyinin otomorfizm grubu en fazla $84(g-1)$ elemana sahiptir.

Bu sınıra ulaşan yüzeylere Hurwitz yüzeyleri denir; en küçüğü ünlü Klein kuartik ($g=3$, otomorfizm $= 168$).

Bu teorem cebrik geometri ve hiperbolik geometri arasında temel bir köprüdür.

Hurwitz zeta fonksiyonu

Klasik Riemann zeta fonksiyonunun bir genelleştirmesi:

$\zeta(s, a) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+a)^s}$

Modern sayı teorisinde temel araç; Dirichlet $L$-fonksiyonlarının yapı taşıdır.

Hurwitz polinom teoremi (1895)

Bir polinomun tüm köklerinin sol yarı düzlemde olması için cebirsel kriter. Mühendislikte kontrol teorisinin temel araçlarından — bir sistemin stabil olup olmadığını polinom katsayılarından okumayı sağlar.

Hurwitz teoremi (8 boyut analoğu)

Cayley sayıları (oktonyonlar) üzerine: $1, 2, 4, 8$ boyutlu bölünebilen normlu cebir sadece $\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}, \mathbb{O}$. 8 boyut ötesinde böyle yapı yoktur.

Bu, cebrin temel bir sınırını koyar. Ve 1898'de ispatlandı.

Hastalık ve günlük

Hurwitz hayatı boyunca ağır karaciğer hastalığı ile yaşadı. 1905'te ameliyat oldu, ölümden zar zor kurtuldu. Sonrasında 14 yıl daha yaşadı, ama sıkı bir rejim ve kısa çalışma günleri ile.

Bu fiziksel kısıtlamayı, alışılmadık bir alışkanlıkla dengeledi: 30 yıl boyunca matematik günlüğü tuttu. Her gün küçük bir miktar — yeni fikir, başka biri tarafından söylenmiş bir teorem, bir öğrenci sorusu. Ölümünden sonra bu günlükler (28 cilt) ETH arşivlerinde paha biçilmez kaynak oldu. Pólya ve Szegő'nün ünlü problem kitabının bir kısmı bu günlüklerden geldi.

Ölüm

18 Kasım 1919, Zürih. 60 yaşında, son nefesine kadar matematik üzerinde çalıştı. Cenazesinde Hilbert, "Modern matematiğin önemli figürlerinden biri sessizce gitti. Onun parlak günlerini gerçekten yaşayanlar yalnızca ETH öğrencileri ve birkaç sayı teorisyenidir" dedi.

Mirası

• Hurwitz tam sayıları: kuaterniyon halkasının temeli.
• Hurwitz otomorfizm teoremi: cebrik geometri standardı.
• Hurwitz zeta fonksiyonu: analitik sayı teorisi temeli.
• Hurwitz polinom kriteri: kontrol teorisi başvuru aracı.
• Hurwitz teoremi (normlu cebir): cebirin temel sınırı.
• Einstein ve Pólya gibi öğrenciler.

Hurwitz, "büyük adam matematik" oyununu oynamayan, sessiz çalışmayı seven bir figürdü. Modern popüler matematik tarihi onu pek anmaz. Ama dokunduğu her alanda ya bir teorem ya bir sınır kavram ya da bir öğrenci bıraktı.

Einstein'ın "daha iyi dinlemeliydim" dediği matematik hocası. Ona böyle dedirten bir hayat, kendi başına bir başarıdır.