Andrey Kolmogorov: Olasılığı Sezgilerden Çıkarıp Modern Matematik Yapan Adam

Bir matematik formülü size karmaşık gelebilir. Ama bütün bir matematik dalının "neyin doğru, neyin yanlış olduğu konusunda anlaşması gerektiği" temel kurallar yığını — buna aksiyomatik temel denir — çok daha derin bir iştir. Olasılık matematiği, doğuşundan (Pascal, Fermat, 1654) 1933'e kadar iki yüz seksen yıl boyunca bu sağlam temelden yoksun kaldı. Hesaplar yapılıyordu, formüller yazılıyordu, problemler çözülüyordu — ama "olasılık nedir?" sorusunun ortak, matematiksel olarak sapasağlam bir tanımı yoktu.

1933'te bu boşluğu, Andrey Nikolayeviç Kolmogorov adında 30 yaşında bir Rus matematikçi, 62 sayfalık bir kitapta kapattı. Eserin adı: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Olasılık Hesabının Temel Kavramları). Bu küçük kitap, modern olasılık teorisinin Öklid'in Elementler'i gibidir — bütün bir disiplinin üzerine kurulduğu sayfalar.

Ve şaşırtıcı olan: Kolmogorov bunu sadece bir parçası olarak yapmıştı. Hayatının geri kalanında türbülans, dinamik sistemler, bilgi teorisi, algoritmik karmaşıklık ve dilbilim üzerine de çığır açacaktı.

Tambov'dan Moskova'ya

Kolmogorov, 25 Nisan 1903'te Rusya'nın Tambov şehrinde doğdu. Annesi Mariya, onu doğururken öldü. Babası asılında çocukla ilgili olmadı; çocuğu annesinin ablası Vera Kolmogorova yetiştirdi. Vera çağı için olağanüstü bir aydın kadındı; küçük Andrey'i kendi soyadıyla büyüttü ve okul öncesi yaşlarda matematiğe yönlendirdi.

5–6 yaşlarında küçük bir matematik dergisi çıkarıyordu (aile için). Erken yaşta sayıların bir örüntüsünü keşfedip yayımlamıştı: çift kareler dizisi $1 + 3 = 4, 4 + 5 = 9, 9 + 7 = 16, \ldots$ (her tek sayı eklendiğinde sonraki kare çıkıyor). Bu kişisel bir keşifti, başka birinin de bulduğunu çok sonra öğrendi; ama o yaşlarda matematik üreten zihnin oluşumunu göstermesi açısından önemlidir.

1920'de Moskova Devlet Üniversitesi'ne girdi. Aynı dönemde Rus matematik geleneği, Lusitania denilen ünlü topluluk altında bir altın çağ yaşıyordu. Nikolai Luzin'in öğrencisi olarak Kolmogorov, küme teorisi ve gerçek analiz üzerine erken çalışmalar yaptı.

1933: olasılığın aksiyomları

19. yüzyıl boyunca olasılık üzerine yazılmış metinler, "olasılık nedir" sorusunu farklı biçimlerde cevaplıyordu:

• Klasik tanım (Laplace): "Olası eşit sayıdaki sonuçtan başarılı olanların sayısı bölü toplam sonuç sayısı." (Adil zar için işe yarar; sürekli değişkenler için çuvallar.)
• Sıklık tanımı (von Mises): "Olasılık, çok sayıda denemede bir olayın gerçekleşme oranının limit değeridir." (Tanım dolambaçlı, "rastgele dizinin" matematiksel tanımı kendi başına zor.)
• Sübjektif tanım (Ramsey, de Finetti): "Olasılık, bir akıl sahibi varlığın bahis koymaya hazır olduğu derecedir." (Felsefi olarak ilginç ama bir mühendise ne diyeceği belirsiz.)

Kolmogorov hiçbirini seçmedi. Bunun yerine, "olasılığın ne olduğunu felsefi olarak söylemek yerine, olasılığın nasıl davrandığını matematiksel olarak tanımlayan minimal kurallar kümesi yazmak" yolunu seçti.

Aksiyomları üçtür (basitleştirilmiş hâliyle):

1. Her olay $A$ için olasılığı bir sayıdır, $P(A) \ge 0$.
2. Tüm olası sonuçların kümesi (örnek uzayı $\Omega$) olasılığı 1'dir: $P(\Omega) = 1$.
3. Ayrık olayların (birleşkesi boş olan iki olay) birleşmesinin olasılığı, olasılıkların toplamıdır. Sayılabilir sonsuz dizide bile:

$P\bigl(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\bigr) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \quad \text{(eğer } A_i\text{ler ayrık ise)}$

Bu üç sadelikteki ifadeyle, olasılık matematiğin modern bir dalı oldu. Tüm sonraki teoremler — Büyük Sayılar Yasası, Merkezi Limit Teoremi, Markov zincirleri, stokastik kalkülüs — bu zemin üzerinde tanımlanır. Kolmogorov "olasılık ölçü teorisinin bir özel halidir" diye yazdı; bu bir tanım değil, bir geçiş kapısıydı, ve 20. yüzyılın matematik dünyasını kalıcı olarak şekillendirdi.

Türbülans yasaları

Kolmogorov'un başka büyük katkı alanı akışkanlar dinamiğindeki türbülanstır. Bir nehirde su, bir uçağın kanat ucunda hava, bir baca dumanı — bunların hepsi türbülent akar: küçük kıvrımlar, girdaplar, kaotik biçimler. Bu sistemleri matematikle modellemek 19. yüzyıldan beri açık bir problemdi (kısmen hâlâ açıktır).

1941'de Kolmogorov, çok ünlü "$5/3$ yasasını" yayımladı: yüksek hızlı türbülent bir akışkanda, enerjinin küçük girdaplara doğru aktarımı, $k$ dalga sayısı için kabaca $E(k) \sim k^{-5/3}$ biçiminde dağılır. Bu sonuç, deneylerde son derece doğru çıkar ve modern türbülans biliminin en temel öngörülerinden biridir. Hava tahmini, motor tasarımı, hava limanı tasarımı gibi pratik alanlarda kullanılır.

Kolmogorov'un türbülans işlerinin matematiksel zarafetinden, II. Dünya Savaşı sırasında Rus topçusu da yararlandı: rastgele dağılım yasaları, top mermilerinin isabet oranını artırmak için kullanıldı.

KAM teoremi

1954'te Kolmogorov, dinamik sistemler kuramında Kolmogorov–Arnold–Moser (KAM) teoremini ortaya koydu. Soru basit: Klasik mekanikteki çok cisim problemi (örneğin 9 gezegen ve Güneş) için yörüngeler kararlı mıdır? Laplace kararlı olduğunu sezgisel olarak göstermişti; ama 20. yüzyıl başında Poincaré problemin matematiksel olarak çok daha karışık olduğunu fark etmişti.

KAM teoremi, küçük tedirginlikler altında bir sistemin yörüngelerinin çoğunluğunun kararlı (kvazi-periyodik) kaldığını gösterir. Yani Güneş sistemi tamamen kararlı değil, ama çoğunlukla kararlı. Bu, 20. yüzyıl matematiğinin en derin sonuçlarından biridir; sıkı sürüm ispatı öğrencileri Vladimir Arnold ve Jürgen Moser tarafından geliştirildi.

Algoritmik karmaşıklık

Hayatının son on yıllarında Kolmogorov başka bir yenilik tanıttı: algoritmik karmaşıklık. Soru: bir matematiksel nesnenin "rastgelelik" derecesini nasıl ölçeriz?

Onun cevabı: bir nesnenin Kolmogorov karmaşıklığı $K(x)$, o nesneyi üreten en kısa programın uzunluğudur. Mesela "1010101010..." dizisinin Kolmogorov karmaşıklığı çok düşüktür (bir döngüyle yazılabilir); ama gerçekten rastgele bir bit dizisi, kendisinden başka kısa bir programla üretilemez. Bu kavram bilgisayar bilimi, algoritma teorisi ve bilgi sıkıştırması (örn. arşivlemede) ile derin ilişki içindedir.

Sıradan insan, sıra dışı zihin

Kolmogorov hayatı boyunca üç şeyle de uğraştı: matematik, çocuk eğitimi (lise düzeyinde matematik müfredatları üzerinde aktif rol aldı; Rusya'nın bilim okulları sistemini şekillendirdi) ve kayak. Hayatının önemli bir kısmı Pavel Aleksandrov ile yakın bir dostluk içinde geçti; bu iki matematikçi yıllarca aynı dachada yaşadılar, birlikte ders verdiler, birlikte makaleler yayımladılar.

20 Ekim 1987'de Moskova'da öldü. 84 yaşındaydı. Ardında: olasılık teorisinin temellerinden türbülans yasalarına, dinamik sistemlerden algoritmik karmaşıklığa uzanan bir miras. Pek az matematikçi bu kadar farklı dalda bu kadar derin iz bırakmıştır.

Sovyet matematikçi Vladimir Tikhomirov, Kolmogorov'u şu sözle anar: "O bir matematikçi değildi; matematik bilimi içindeki bir gezgindi." Modern olasılığın bizimle her saniye konuşan dilini ona borçluyuz; ama o, sadece bu dilin kelimelerini değil, sözcüklerin kurallarını da yazan kişiydi.