Antik Çağın Üç İmkânsız Problemi: 2000 Yıl Sonra "Yapılamaz" Diyebilmek

Oyunun Kuralları

Antik Yunan geometrisinde kutsal bir kısıtlama vardı: Şekiller yalnızca iki aletle çizilmeliydi.

• Pergel: Çember çizmek ve uzaklıkları taşımak için.
• İşaretsiz cetvel (düz kenar): İki noktayı birleştiren doğru çizmek için. (Üzerinde ölçü işareti yok — sadece düz çizgi çizer.)

Bu "pergel ve cetvel" kısıtlamasıyla şaşırtıcı derecede çok şey yapılabilir: bir açıyı ikiye bölmek, bir doğruya dik çıkmak, düzgün beşgen çizmek... Ama üç problem, antik Yunanlıların bütün çabalarına direndi. Bunlar matematik tarihinin en ünlü bulmacaları oldu.

Üç Efsanevi Problem

1. Daireyi Kareleme (Quadrature of the Circle): Verilen bir daireyle tam olarak aynı alana sahip bir kareyi, sadece pergel ve cetvelle çizebilir misiniz? Bu problem o kadar ünlüdür ki, "daireyi kareleme" deyimi pek çok dilde "imkânsız bir işe girişmek" anlamına gelir.

2. Açıyı Üçe Bölme (Trisection of the Angle): Herhangi bir açıyı, pergel ve cetvelle tam olarak üç eşit parçaya bölebilir misiniz? (Bir açıyı ikiye bölmek kolaydır; ama üçe bölmek bambaşka bir hikâyedir.)

3. Küpü İki Katına Çıkarma (Doubling the Cube): Verilen bir küpün tam iki katı hacme sahip yeni bir küpün kenarını çizebilir misiniz? (Efsaneye göre bu problem, Delos adasındaki bir veba salgınını durdurmak için bir sunağın hacminin iki katına çıkarılması gerektiğinde ortaya çıktı; bu yüzden "Delos problemi" de denir.)

2000 Yıllık Sessizlik

Antik Yunan'dan başlayarak, sayısız matematikçi bu üç problemle boğuştu. Yaklaşık çözümler, hile sayılabilecek (işaretli cetvel gibi başka aletlerle yapılan) çözümler buldular. Ama "sadece pergel ve cetvelle" tam çözüm bir türlü gelmiyordu.

İlginç olan şuydu: Kimse çözümü bulamıyordu, ama kimse de "çözüm yok" diye kanıtlayamıyordu. Belki de yeterince zeki biri henüz çıkmamıştı? Bu belirsizlik 2000 yıldan fazla sürdü.

Cevap Geometriden Değil, Cebirden Geldi

Çözümün anahtarı, hiç beklenmedik bir yerden — cebirden — geldi. 19. yüzyılda matematikçiler şunu fark etti: Pergel ve cetvelle hangi uzunlukların çizilebileceği, aslında bir cebir sorusudur.

Kanıtlandı ki: Pergel ve cetvelle ancak, başlangıç uzunluklarından toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve karekök işlemleriyle elde edilebilen uzunluklar çizilebilir. Başka hiçbir şey değil. Bu, çizilebilir sayılara çok kesin bir matematiksel sınır koyuyordu.

Şimdi üç probleme bu gözle bakalım:

• Küpü iki katına çıkarma: Bunun için "2'nin küp kökü" (∛2) uzunluğunu çizmek gerekir. Ama küp kökü, sadece kareköklerle elde edilemez. İmkânsız. (1837'de Pierre Wantzel kanıtladı.)
• Açıyı üçe bölme: Bu da (çoğu açı için) küp kök gerektiren bir denkleme indirgenir; kareköklerle çözülemez. İmkânsız. (Yine Wantzel, 1837.)
• Daireyi kareleme: Bunun için √π uzunluğunu çizmek gerekir. Ama bunun olması için π'nin "cebirsel" bir sayı olması lazım. Oysa 1882'de Ferdinand von Lindemann, π'nin "transandantal" (aşkın) bir sayı olduğunu kanıtladı — yani hiçbir cebirsel denklemin kökü değildir. Bu da daireyi karelemeyi kesinlikle imkânsız kıldı.

"İmkânsız" Demenin Gücü

Bu hikâyenin en güzel yanı şudur: Matematik, sadece "nasıl yapılır" sorusunu değil, "yapılıp yapılamayacağı" sorusunu da kesin biçimde yanıtlayabilir.

"Henüz bulamadık" ile "asla bulunamaz, çünkü mantıken imkânsız" arasında devasa bir fark vardır. Bu üç problem için matematik, ikincisini başardı: Bir şeyin imkânsız olduğunu, denemeye bile gerek kalmadan kanıtladı. (Daha önce Galois'nın beşinci derece denklemler için, Gödel'in eksiklik teoremlerinde yaptığı gibi.)

Bu, bilimsel düşüncenin olgunluk işaretidir. Bugün hâlâ, ara sıra birileri "daireyi kareledim!" diye ortaya çıkar. Ama bir matematikçi için bu, "sonsuz hareketli bir makine yaptım" demek kadar anlamsızdır — çünkü imkânsızlığı kesin olarak kanıtlanmıştır.

Modern Yansımalar

• İmkânsızlık kanıtları: Bu problemler, matematikte bir şeyin yapılamayacağını kanıtlama geleneğinin öncüleridir. Bilgisayar biliminde "bu problem verimli çözülemez" demek (P vs NP gibi) aynı düşünce çizgisidir.
• Cebir ile geometrinin birliği: Geometrik bir sorunun cebirle çözülmesi, Descartes'ın analitik geometrisinin gücünün muhteşem bir örneğidir.
• π'nin doğası: Daireyi kareleme problemi, π'nin ne kadar derin ve "vahşi" bir sayı olduğunu anlamamızı sağladı.

Sonuç

Antik Yunan'ın üç imkânsız problemi, matematiğin sabrını ve gücünü aynı anda gösterir. İki bin yıl boyunca insanlar bu bulmacaları çözmeye çalıştı; sonunda cevap, "çözülemez" oldu — ve bu cevap, bir başarısızlık değil, bir zaferdi.

Çünkü matematik bize sadece neyi yapabileceğimizi değil, neyi asla yapamayacağımızı da kesin olarak söyleyebilen ender disiplinlerden biridir. Ve bir şeyin sınırlarını bilmek, çoğu zaman onun ötesindeki yeni dünyaları keşfetmenin ilk adımıdır.