Asal Sayı Teoremi: Asallar Niye "Bu Kadar" Düzensiz?

Asallar nereye saçılır?

Asal sayılar — yalnızca 1 ve kendisine bölünen sayılar — sayı dünyasının yapı taşlarıdır. İlk birkaç tanesi: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \dots$

İlk bakışta düzensiz görünür: aralarındaki boşluklar bazen 2 (ikiz asallar), bazen büyük. Hiç düzen yok gibi. Ama büyük ölçeklerde bakınca şaşırtıcı bir düzenli yapı ortaya çıkar.

Bir sayma fonksiyonu tanımlayalım: $\pi(n)$, $1$'den $n$'e kadar asal sayıların sayısı.

$\pi(10) = 4, \quad \pi(100) = 25, \quad \pi(1000) = 168, \quad \pi(10^6) = 78498, \quad \pi(10^9) = 50847534$

Soru: $\pi(n)$ büyük $n$ için nasıl davranır?

Gauss'un sezgisi (1792)

15 yaşındaki Carl Friedrich Gauss logaritma tablolarına bakarken bir gözlem yaptı: asal sayılar $n$ civarında "ortalama yoğunluğu" $1/\ln n$ olarak davranıyor. Yani $n$'e yakın bir aralıkta her $\ln n$ sayıdan biri asal gibi görünüyor.

Bu sezgi şu tahmine yol açar:

$\pi(n) \approx \int_2^n \frac{1}{\ln t}\,dt = \text{li}(n)$

(Logaritmik integral.) Veya daha sade hali:

$\pi(n) \approx \frac{n}{\ln n}$

Gauss bunu çocukken not etti ama hiçbir zaman yayımlamadı. Genç Gauss'un sezgisi, 100 yıl sonra büyük bir teoremin başlangıcı oldu.

Asal Sayı Teoremi

Modern formuyla Asal Sayı Teoremi (PNT):

$\lim_{n \to \infty} \frac{\pi(n)}{n/\ln n} = 1$

Yani $\pi(n)$ ve $n/\ln n$ büyük $n$ için göreceli olarak eşittir. Daha yakın yaklaşım $\text{li}(n)$'dir.

Sayısal örnekler:

$n$	$\pi(n)$	$n/\ln n$	$\text{li}(n)$
$10^3$	$168$	$145$	$178$
$10^6$	$78498$	$72382$	$78628$
$10^9$	$50847534$	$48254942$	$50849234$
$10^{12}$	$37607912018$	$36191206825$	$37607950280$

$\text{li}(n)$ inanılmaz yakın bir tahmin verir; $n/\ln n$ de iyidir ama biraz daha sapar.

Kanıt: 100 yıllık yolculuk

PNT'nin kanıtı matematik tarihinin uzun bir maceraları:

Çebişev (1850)

Pafnuty Chebyshev ilk büyük adımı attı: $\pi(n)$'in büyüklüğünün $n/\ln n$ ile sınırlı oranda olduğunu kanıtladı:

$0.92 \cdot \frac{n}{\ln n} < \pi(n) < 1.11 \cdot \frac{n}{\ln n}$

Yani Gauss'un sezgisinin "doğruluğa yakın" olduğunu gösterdi.

Riemann (1859)

Bernhard Riemann 8 sayfalık devrim niteliğinde bir makalede asal sayıların dağılımının kompleks analiz ile derinden bağlı olduğunu gösterdi: ünlü Riemann zeta fonksiyonu $\zeta(s)$. PNT'nin daha güçlü versiyonlarının kanıtı bu fonksiyonun "kritik şeritte sıfırlarının" özelliklerine bağlı.

Riemann hipotezi (1859, hâlâ açık) PNT'nin en hassas hata terimini verir.

Hadamard ve de la Vallée-Poussin (1896)

Riemann'ın programını izleyerek Jacques Hadamard ve Charles-Jean de la Vallée-Poussin bağımsız olarak PNT'yi kompleks analiz ile kanıtladılar. 100 yıl beklenen ispat geldi.

Erdős ve Selberg (1949)

Atle Selberg ve Paul Erdős PNT için temel (elementary) kanıt buldular — kompleks analiz kullanmadan. Bu kanıt da büyük bir başarı; 1950'de Selberg Fields Madalyası kazandı (Erdős'la kim kazandı tartışması ünlüdür).

Asallar arası boşluklar

PNT, "ortalama olarak" $n$'e yakın sayılar arasında bir asal her $\ln n$'de bir bulunur. Yani ortalama boşluk $\ln n$'dir.

• $n \approx 100$: ortalama boşluk $\ln 100 \approx 4.6$
• $n \approx 10^6$: ortalama boşluk $\ln 10^6 \approx 14$
• $n \approx 10^{100}$: ortalama boşluk $\ln 10^{100} \approx 230$

Yani büyük asal sayılar git gide daha aralıklı olur. Bu yüzden büyük asal sayıları bulmak için yapılan GIMPS projesi (Mersenne asallarını arıyor) milyonlarca CPU saati kullanır.

Riemann hipotezi

Eğer Riemann hipotezi doğruysa, PNT için çok hassas bir hata sınırı verilebilir:

$|\pi(n) - \text{li}(n)| < C \sqrt{n} \ln n$

Bu, asallar hakkında olası en iyi düzenlilik ifadesidir. Riemann hipotezi 1859'dan beri açıktır; Clay Matematik Enstitüsü'nün 1 milyon dolarlık 7 büyük problemi (Millennium Problems) arasında.

Pratik uygulamalar

PNT modern kriptografinin doğrudan temelinde:

RSA şifreleme

Modern internet güvenliğinin temeli olan RSA, çok büyük asal sayılar kullanır (tipik olarak 1024 veya 2048 bit). PNT der ki:

"2048 bitlik bir sayı civarında bir asal bulma olasılığı $1/\ln(2^{2048}) \approx 1/1420$."

Yani rastgele bir 2048-bitlik tek sayı seçerseniz, yaklaşık 1420 deneme sonunda bir asala denk gelirsiniz. Bu pratik bir hesap; modern OpenSSL kütüphaneleri bu olasılığa dayanır.

Hash fonksiyonları ve veri yapıları

Asal sayılarla doldurulmuş hash tabloları daha az çakışma yaşar. PNT, yeterince büyük asalın bulunabileceğini garantiler.

Bir merakın 100 yıllık serüveni

Genç Gauss'un logaritma tablosundaki sezgisi, bir yüzyıl sonra modern matematik tarihinin en derin teoremlerinden birine dönüştü. Asal sayılar tek tek bakıldığında "kaotik" görünür, ama büyük ölçekte logaritmik bir düzene uyar.

Bu, matematiğin bir derslerinden biri: mikro düzeyde kaos, makro düzeyde düzen olabilir. Aynı ilke kuantum mekaniği, istatistiksel termodinamik, sosyal davranış analizi gibi pek çok yerde de görünür. Asal sayıların düzensizliği aslında çok düzenli bir düzensizliktir.