Bernhard Riemann: 39 Yaşında Ölen ve Modern Matematiğin Yarısını Yaratan Dahi

Bir saat ders ve modern matematiğin doğumu

10 Haziran 1854 öğleden sonra, Göttingen Üniversitesi'nde bir akademik tören. Genç bir öğretim üyesi adayı, profesör olabilmek için habilitasyon dersi veriyor. Konusunu önceden seçtiği üç başlıkta — komite birini seçecek. Aday üç başlık önerdi: ilk ikisi hazır, üçüncüsü "uzak ihtimal". Komitenin başkanı 77 yaşındaki Gauss tam o "uzak ihtimali" seçti: "Geometrinin temelinde yatan hipotezler üzerine."

Aday çaresizdi — yıllardır üzerinde sessizce düşünüyordu ama notları hazır değildi. 8 hafta hummalı çalışma. Sonunda 10 Haziran'da derste Riemann geometriyi sundu: eğri uzaylar, manifold kavramı, eğrilik tensörü.

Dersi bitirdiğinde Gauss — ki Gauss çoğu zaman duygularını saklayan biriydi — eve yürürken Weber'e dönüp şöyle söyledi: "Bu adam matematikte yeni bir devir açtı. Hesabı çok zor anladığımı söylemeliyim."

61 yıl sonra Einstein bu dersin matematik yapısını kullanarak genel göreliliki kurdu.

Adayın adı: Georg Friedrich Bernhard Riemann. 28 yaşında.

Erken yaşam — Breselenz köyü

• Doğum: 17 Eylül 1826, Breselenz, Hannover Krallığı (kuzey Almanya).
• Ölüm: 20 Temmuz 1866, Selasca, İtalya (tatil sırasında tüberkülozdan). 39 yaşında.

Baba Friedrich Bernhard Riemann, Luther kilisesi köy papazı. Aile çok fakirdi. Bernhard altı çocuktan ikincisi. Annesi de erken öldü (1846, Bernhard 20 yaşında).

Bernhard utangaç, içe dönük, hastalıklı bir çocuktu. Konuşurken biraz kekemeydi. Tek tutkusu: matematik ve teoloji.

Eğitim — Hannover'den Berlin'e

• 1840: Hannover Lisesi.
• 1842: Lüneburg'a taşındı; orada matematik öğretmeni Schmalfuss ona Legendre'nin sayı teorisi kitabını verdi. Bernhard 859 sayfayı 6 günde okuyup hatmetti.
• 1846: Göttingen Üniversitesi — teoloji öğrencisi (baba ricasıyla).
• Ders programının dışında matematik dersleri aldı. Gauss'un dersine girdi (ama Gauss o zamana yaşlı, ders azaltıyordu).
• 1847: Babasının izniyle matematiğe geçti. Berlin'e taşındı.
• Berlin'de Jacobi, Dirichlet, Steiner, Eisenstein. Özellikle Dirichlet üzerinde derin etki — sonra Riemann onun halefi olacak.
• 1849: Göttingen'e geri döndü. Doktora başvurusu Gauss'a.

Doktora tezi (1851) — kompleks analizin yeniden inşası

Tez başlığı: Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen complexen Größe (Bir kompleks değişkenli fonksiyonlar için genel teori temeli).

İçinde devrim niteliğinde üç kavram:

1. Cauchy-Riemann denklemleri (Cauchy ile birlikte).
2. Konformal dönüşümler ve Riemann dönüşüm teoremi: her basit bağlantılı bölge, birim çembere konformal eşdeğer.
3. Riemann yüzeyleri: kompleks fonksiyonların çok-değerli yapılarını tek-değerli yapan geometrik nesneler.

Gauss tezi okuyup şöyle yazdı: "Yazarın çoğu zaman müstakil ve katı bir araştırma çalışması yapma yeteneğine sahip olduğu, ve bağımsız bir bilimsel zihne sahip olduğu apaçık." Gauss'tan bu kadar övgü almak nadirdi.

Habilitasyon: iki şaheser (1854)

Profesörlük yolunda Riemann iki büyük çalışma üretti:

1. Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe — Fourier serilerinin yakınsama teorisi

Burada Riemann Riemann integralini tanımladı (Cauchy'nin tanımının genelleştirmesi). Bu, modern analizdeki "Riemann integrali" kavramının doğum yeri.

2. Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen — habilitasyon dersi

Yukarıda anlatılan Riemann geometri. Manifold kavramı, metrik, eğrilik, $n$ boyutlu uzaylar. Genel göreliliğin matematik temelinin doğum belgesi.

İlginç: bu çalışma Riemann'ın hayatında basılmadı. Dedekind tarafından 1868'de ölümünden 2 yıl sonra yayımlandı. Ama Almanya matematik çevresinde el yazması olarak dolaştı.

Profesörlük ve büyük yıllar (1854-1866)

1854: Göttingen'de Privatdozent (maaşsız öğretim üyesi).
1857: yardımcı profesör.
1859: tam profesör — Dirichlet'in halefi olarak, Gauss'un kürsüsünde.

Bu dönemde:

Asal sayılar üzerine bir not (1859)

Riemann tek bir 8 sayfalık makale yazdı: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe ("Belli bir Büyüklük Altındaki Asal Sayıların Sayısı Üzerine"). İçinde:

• Riemann zeta fonksiyonu $\zeta(s)$ kompleks değişkene genişletildi.
• Analitik devamlılık.
• Fonksiyonel denklem: $\zeta(s)$ ile $\zeta(1-s)$ arasında simetri.
• Riemann hipotezi: trivial olmayan tüm sıfırlar $\Re(s) = 1/2$ doğrusunda.

Riemann hipotezi 165 yıldır açık. Milenyum problemlerinden. Modern sayı teorisi hâlâ buna takılı.

8 sayfa. Bir tek makale. Yarım yüzyıllık literatür doğurdu.

Riemann-Roch teoremi

Cebrik eğriler üzerinde meromorfik fonksiyonların boyutu için formül. Modern cebrik geometrinin temel teoremi.

Yer eki: topoloji

"Genus" kavramı, Euler karakteristiği geliştirmeleri, Betti sayılarının ön habersisi.

Hayat — sevdiklerini hızla kaybetmek

1862: Riemann sevdiği kadın Elise Koch ile evlendi (37 yaşında — geç).
1863: kızları Ida doğdu.
Ama Riemann tüberküloz kapmıştı. İklimi daha yumuşak olan İtalya'da iyileşmeye çalıştı.

1862-66 arasında defalarca İtalya'ya gitti. Roma, Floransa, Pisa. Matematik üretmeye devam etti — yarım kalan elyazmaları arasında çoklu integral teorisi, periyodik fonksiyonlar, dalgaların yayılımı çalışmaları var.

20 Temmuz 1866, İtalya'nın Maggiore Gölü kıyısındaki Selasca kasabasında öldü. Karısı yanındaydı. 39 yaşında.

Ev sahibinin ev temizliği sırasında Riemann'ın yarım kalmış el yazmaları çoğunlukla atıldı. Hayatta kalanlar Dedekind tarafından derlendi (1876, Riemann'ın toplu eserleri).

Ana matematik katkıları (tekrar)

• Riemann integrali: modern analiz temeli.
• Riemann yüzeyleri: kompleks analiz ve cebrik geometri kesişimi.
• Riemann dönüşüm teoremi: konformal dönüşümler.
• Cauchy-Riemann denklemleri: kompleks türev koşulu.
• Riemann geometri: eğri uzaylar; Einstein'ın görelilik kuramı.
• Riemann zeta fonksiyonu: asal sayıların ufku.
• Riemann hipotezi: 165 yıllık açık problem.
• Riemann-Roch teoremi: cebrik geometri merkez teoremi.

8 yıllık akademik aktivite. Bir tek özgün makale yıllık. Ama her makale alanların kurucusu.

Mirası

Riemann çağdaşları tarafından derin olarak görüldü ama çok takdir edilmedi. Mütevazı, sessiz, dünya işlerinde tutarsız bir adamdı. Yarım kalmış çalışmaları çok fazla.

20. yüzyıl başında Hilbert, Klein, Hermann Weyl ve sonra Atiyah, Grothendieck Riemann'ın fikirlerini sistemleştirdiler. Modern matematik tarihi onu Newton, Gauss ve Euler ile aynı katmana yerleştirir.

Şöyle bir yaygın deyim vardır: "Riemann olmadan modern matematik olmazdı." Birinci dereceden abartı değil. Çünkü:

• Modern analiz: Riemann integrali.
• Modern geometri: Riemann manifoldları.
• Modern fizik: genel görelilik.
• Modern sayı teorisi: zeta fonksiyonu.
• Modern cebrik geometri: Riemann yüzeyleri ve Riemann-Roch.

Bir köy papazının fakir oğlu. Utangaç, hasta, geç evlenen, küçük kızını annesiz bırakan adam. 39 yaşında öldü. Ama bıraktığı her sayfa, bir alanı yeniden çizdi.

Riemann hipotezini birinin çözdüğü gün, dünyanın gazete manşetinde Riemann'ın resmi olacak. Bir tek sayfaya bakan 39 yaşındaki Riemann.