Bhaskara II: Kızı için Bir Matematik Kitabı Yazan ve Pell Denklemlerini 500 Yıl Önce Çözen Hintli

Bhaskara II (1114–1185) — bazen Bhaskara Achaya ya da Bhaskaracarya diye anılır — 12. yüzyıl Hindistan'ın en büyük matematikçilerinden biridir. Önceki Bhaskara (7. yüzyılda yaşamış, Aryabhata yorumcusu) ile karıştırılmasın diye "II" eki ile anılır.

Bhaskara II'nin matematiğe yaptığı katkıların ölçeği, Avrupa'da Newton ve Leibniz dönemine kadar görülmeyecek bir seviyeydi: cebirde Pell tipi denklemlerin tam çözümü, türev kavramının sezgisel öncüleri, trigonometrik özdeşlikler ve astronomi tabloları. Ama belki de bilim tarihinde onu en sevimli yapan ayrıntı, eserlerinden birinin kızının adını taşımasıdır.

Vijayapura'da bir astronom

Bhaskara II, 1114'te bugünkü Karnataka eyaletinin Vijayapura (eski adıyla Bijapur) bölgesinde doğdu. Babası Mahesvara, kendisi de bir astronom-matematikçiydi; oğluna ilk eğitimi verdi.

Bhaskara II, kariyerinin önemli bir kısmını Ujjain şehrindeki astronomi gözlemevinde geçirdi. Ujjain, dönemin Hint astronomisinin başkenti gibiydi — Aryabhata, Brahmagupta gibi büyük isimlerin eserlerinin korunduğu ve geliştirildiği yer. Bhaskara II, bu gözlemevinin başına geçti ve 36 yıl boyunca yöneticiliği yaptı.

Dört eser, bir hayat

Bhaskara II'nin dört büyük eseri vardır, hepsi sanskrit dilinde:

1. Lilavati — aritmetik üzerine, popüler bir biçimde yazılmış kitap.
2. Bijaganita — cebir üzerine, daha teknik.
3. Grahaganita — gezegen hareketleri.
4. Goladhyaya — küresel astronomi.

Son ikisi birlikte Siddhanta Shiromani (Tac-ı Şirin) adlı büyük astronomi külliyatını oluşturur.

İlk ikisi de cebir/aritmetik üzerine olmakla beraber tonları çok farklıdır: Lilavati hikâyeleştirilmiş, soru-cevap biçiminde, eğlenceli; Bijaganita ise sıkı bir matematik metnidir. Bu fark, Bhaskara'nın pedagoji yeteneğinin kanıtıdır: aynı malzeme farklı okuyucular için farklı biçimlerde sunulabilir.

Lilavati: kızı için bir kitap

Lilavati'nin yazılış hikâyesi ilginçtir. Geleneksel bir Hint efsanesine göre Bhaskara II'nin kızı Lilavati vardı; astrolojik hesaplara göre ancak belirli bir saatte (özel bir kum saatinin son tanesi düştüğünde) evlenebilirdi. Düğün hazırlığı sırasında küçük bir kaza oldu — Lilavati'nin saç tokası kum saatinin içine düştü ve mekanizmayı bozdu. O an geçti; Lilavati hiç evlenemedi.

Bhaskara II, kızını teselli etmek için ona ithaf ettiği bir matematik kitabı yazdı. Lilavati'nin her bölümünde, kıza hitap eden ifadeler vardır: "Ey güzel Lilavati, şimdi şu problemi çözmeyi dene…" Bu hikâye tam olarak doğrulanabilir mi belirsizdir; ama kitap gerçekten Lilavati adıyla anılır ve okuyucuya bizzat hitap eden bir tonu vardır.

Lilavati'nin içeriği, dönemi için son derece sistematik bir aritmetik kılavuzudur: kesirler, oranlar, ortaklık paylaşımı (ticari matematik), kombinatorik (Pascal üçgenine giden sayım problemleri), basit cebir, geometrik sayılar.

Bir örnek soru:

"Bir kuğu, gölün dibinde durur. Suyun derinliği 0,5 hat (~30 cm) iken kuğu suyun yüzeyinde yarısına kadar görünür. Bir esinti kuğuyu 2 hat öteye fırlatır; suya hemen tamamen dalmıştır. Gölün gerçek derinliği nedir?"

Bu Pisagor tipi bir bilmecedir. Çözmek için üçgen geometri ve cebir gerekir. Lilavati onlarca bu tarz bilmeceyle doludur — modern dilde bir tür "ders kitabı + bulmaca kitabı" karışımı.

Bijaganita ve Chakravala yöntemi

Bhaskara II'nin teknik açıdan en derin katkısı, Bijaganita eserinde olan chakravala yöntemidir. Bu yöntem, modern dilde Pell denklemlerinin çözümünü verir:

$N x^2 + 1 = y^2$

Burada $N$ verili bir pozitif tam sayı; aranan, $x$ ve $y$'nin tam sayı çözümleridir.

Örneğin, $N = 61$ için $61 x^2 + 1 = y^2$ denkleminin en küçük pozitif tam sayı çözümü şudur: $x = 226{,}153{,}980$, $y = 1{,}766{,}319{,}049$. Bu sayılar şaşırtıcı biçimde büyüktür; çıplak göze çözüm bulmak imkânsızdır.

Bhaskara II, bu tip denklemleri çözmek için chakravala ("dairevî") algoritmasını sistemleştirdi. Algoritma, modern matematik dilinde sürekli kesirlerin yakınsamasıyla yakından akrabadır. Avrupa'da aynı problem, 1657'de Pierre de Fermat'nın İngiliz matematikçilere "bunu çözebilir misiniz?" diye meydan okumasıyla gündeme geldi. Lord Brouncker ve John Wallis kısmi çözümler verdi; Lagrange 1768'de tam çözümü yayımladı.

Yani Bhaskara II, Avrupa'dan yaklaşık 600 yıl önce bu problemin tam ve sistematik çözümünü vermişti. Maalesef "Pell denklemi" adı bir tarihsel hatadır — Leonhard Euler bu denklemi yanlışlıkla başka bir matematikçi John Pell ile ilişkilendirdi; adı kaldı.

Türev sezgileri

Bhaskara II'nin astronomi çalışmalarında, modern dilde türev kavramına çok yakın sezgiler de vardır. Gezegen hareketlerini incelerken, "bir gezegenin anlık hızı"nı bulmak için zaman-konum tablolarına bakıp ardışık değerler arasındaki farkları sıfıra yaklaştırma mantığını kullandı. Yani modern türev tanımının ön formu Bhaskara'da vardır.

Bu, kalkülüsün resmi sentezi (Newton-Leibniz, 1660-1680) için olgun bir teori değildi — ama sezgisel öncülerden biriydi. Hint matematiğinde Kerala okulu (Madhava, 14. yy.) bu yönü sonradan geliştirecekti.

Sıfırın doğru kullanımı

Sıfır ile bölme, matematikçileri yüzyıllar boyunca rahatsız etti. Brahmagupta (7. yy) "sıfırla bölünmüş bir sayı = sıfırla bölünmüş bir sayı" gibi yanlış tanımlar yapmıştı. Bhaskara II, daha titiz bir yaklaşım önerdi: "Bir sayıyı sıfıra böldüğümüzde sonsuza yakın bir büyüklük (khahara, "sıfır-böleni") elde ederiz." Bu, modern dilde limit kavramına yaklaşan bir tanımdır.

Yine de Bhaskara'nın sıfırla ilgili tanımları modern standartlarda tam doğru değildi (sıfırla bölme matematiksel olarak tanımsızdır, "sonsuz değil"). Ama doğru yönde adımlar atmıştı.

Astronomi katkıları

Siddhanta Shiromani'de Bhaskara II:

• Yıldız yılı uzunluğunu 365 gün, 6 saat, 12 dakika, 9 saniye olarak verdi. Modern değer 365 gün, 6 saat, 9 dakika, 10 saniye. Hata payı yaklaşık 3 dakika — döneminin teknolojisi için olağanüstü.
• Gezegenlerin yörüngesel hızlarının "doğuş ve batışlarda" değişmesini hesapladı.
• Ay ve Güneş tutulmalarının fiziksel sebeplerini açıkladı (Aryabhata geleneğini sürdürdü).
• Hindistan'da kullanılan trigonometrik tabloları güncelledi.

Bir hayat dersi: bilgi nasıl iletilir?

Bhaskara II'nin hikâyesi, matematik bilgisinin kuşaktan kuşağa nasıl aktarıldığı üzerine güzel bir örnektir. Bir baba, kızı için bir kitap yazıyor; o kitap 800 yıl boyunca Hindistan'ın matematik öğretiminin temel kaynaklarından biri oluyor. Bhaskara'nın oğlu Lakshmidhara ve torunu Cangadeva da matematik öğretmeni oldular; aile bilgisini koruyup geliştirdi.

Daha geniş ölçekte, Bhaskara'nın eserleri Hindistan'da yüzyıllarca okutuldu. 19. yüzyılda İngiliz sömürge dönemi, Lilavati gibi metinleri Sanskritçeden İngilizceye çevirdi; o yolla Avrupa matematikçileri Hint matematik geleneğinin derinliğini ancak fark etti.

Mirası

Bhaskara II, 1185'te öldü. Bugün:

• Hindistan'ın ikinci yapay uydusu "Bhaskara-II" (1981) onun adını taşır.
• Pune'deki bir önemli astronomi araştırma enstitüsü, "Inter-University Centre for Astronomy and Astrophysics" Bhaskara II'nin adıyla anılır.
• Pell denklemlerine "Bhaskara denklemleri" demek için bazı Hint matematik tarihçilerinin tarihsel bir kampanyası vardır (ama uluslararası uzmanlık dilinde hâlâ "Pell" denir).

12. yüzyıl Karnataka'sından bugüne ulaşan dört eserin bize öğrettiği şey: matematik, bir baba-kız ilişkisinde de yaşayabilir; bir astronomi gözlemevinin yöneticisinin masasında da; bir hindistan kasabasının kütüphane rafında da. Bilgi, ne kadar uzakta yaşandı olursa olsun, doğru aktarımla yüzyılları aşar — yeter ki birisi, sevgiyle, sabırla, sade örneklerle yazsın.