Bir İhanet, Bir Denklem ve "Hayalî" Sayılar: Rönesans'ın Matematik Savaşı

Matematiğin Kavgacı Çağı

Bugün matematiği sakin kütüphanelerde yapılan bir uğraş olarak düşünürüz. Ama 16. yüzyıl İtalya'sında durum çok farklıydı. Matematikçiler ün ve para için halka açık düellolar yapardı — ama kılıçla değil, denklemlerle. İki rakip birbirine problem listeleri verir; kim daha çoğunu çözerse kazanır, ödülü ve şöhreti alırdı.

Bu rekabetin merkezinde, dönemin en büyük çözülmemiş problemlerinden biri vardı: üçüncü dereceden (kübik) denklemleri genel olarak çözmek.

$$x^3 + ax^2 + bx + c = 0$$

İkinci dereceden denklemlerin çözümü antik çağdan beri biliniyordu. Ama kübik denklemler için genel bir formül, yüzyıllardır kimsenin bulamadığı bir hazineydi.

Tartaglia'nın Gizli Formülü

1530'larda, Niccolò Fontana — lakabıyla Tartaglia ("Kekeme"; çocukken bir saldırıda aldığı yara yüzünden konuşma güçlüğü çekiyordu) — kübik denklemlerin belirli bir türünü çözmenin yöntemini buldu. Bu, muazzam bir başarıydı.

Tartaglia formülünü sır olarak sakladı. O dönemde böyle bir formül, matematik düellolarında yenilmez olmak demekti; yani doğrudan geçim ve itibar kaynağıydı. Formülünü kimseye vermek istemiyordu.

Cardano'nun Yemini

Sahneye, dönemin renkli simalarından Gerolamo Cardano çıkar — hekim, matematikçi, kumarbaz ve velut bir yazar. Cardano, Tartaglia'nın formülünü öğrenmek için ısrar etti. Sonunda Tartaglia, formülü asla yayımlamayacağına dair Cardano'dan kutsal bir yemin alarak sırrını ona açtı (rivayete göre şifreli bir şiir biçiminde).

Ama yıllar sonra Cardano, başka bir kaynaktan (Scipione del Ferro'nun daha önce benzer bir çözüme ulaştığını) öğrendi ve formülün aslında Tartaglia'dan da eski olduğunu fark etti. Bunu gerekçe göstererek, 1545'te yayımladığı ünlü eseri Ars Magna ("Büyük Sanat") içinde kübik denklemlerin çözümünü — Tartaglia'nın katkısını da belirterek — dünyaya açıkladı.

Tartaglia bunu açık bir ihanet olarak gördü ve öfkeden köpürdü. İki adam arasında yıllar süren acı bir kamuoyu kavgası, hakaretler ve bir matematik düellosu daveti yaşandı. Bugün formül çoğunlukla ikisinin adıyla birlikte ("Cardano-Tartaglia yöntemi") anılır, ama tartışma matematik tarihinin en ünlü kavgalarından biri olarak kaldı.

Beklenmedik Miras: "İmkânsız" Sayılar

İşte hikâyenin asıl şaşırtıcı kısmı burada başlıyor. Cardano ve onu izleyen matematikçiler (özellikle Rafael Bombelli), kübik formülü kullanırken tuhaf bir şeyle karşılaştı. Bazı denklemlerin gayet gerçek, somut çözümleri vardı — ama formül, bu çözümlere ulaşmak için yol boyunca "negatif bir sayının kareköküne" ihtiyaç duyuyordu.

Oysa bu imkânsız görünüyordu! Hangi sayının karesi negatif olabilir ki? Pozitif × pozitif = pozitif, negatif × negatif = yine pozitif. Negatif bir sonuç veren bir kare yok gibiydi. Matematikçiler bu sembollere küçümseyerek "hayalî" (imaginary) sayılar dediler — sanki gerçek değillermiş gibi.

Ama tuhaf olan şuydu: Bu "hayalî" sayıları hesabın ortasında cesaretle kullanıp işleme devam ederseniz, sonunda onlar birbirini götürüyor ve tamamen gerçek, doğru bir cevaba ulaşıyordunuz. İmkânsız sayılar, gerçek cevaplara giden bir köprü gibiydi.

Sanal Sayılar Gerçek Oluyor

Başta bir "hile" gibi görülen bu sanal sayılar, yüzyıllar içinde matematiğin tam teşekküllü bir parçası oldu. Karesi −1 olan o sembole i adı verildi:

$$i^2 = -1$$

Gerçek sayılarla sanal sayıları birleştiren karmaşık sayılar (örneğin 3 + 2i), bugün matematiğin vazgeçilmez bir aracıdır. Daha önce tanıştığımız Euler'in o "en güzel denklemi" (e^{iπ} + 1 = 0) de tam olarak bu sanal birimi kullanır.

İronik olan şu: "Hayalî" diye küçümsenen bu sayılar, modern bilim ve mühendisliğin en gerçek araçlarından biri çıktı:

• Elektrik mühendisliği: Alternatif akım devreleri, sinyaller — hepsi karmaşık sayılarla hesaplanır.
• Kuantum fiziği: Atom altı dünyanın temel denklemleri (Schrödinger denklemi), özünde karmaşık sayılar içerir. Sanal sayılar olmadan modern fizik düşünülemez.
• Sinyal işleme: Telefonunuzdaki ses ve görüntü, karmaşık sayılarla (Fourier dönüşümü) işlenir.

Sonuç

16. yüzyıl İtalya'sının bir gizli formül, bir kırılan yemin ve bir ihanetle dolu matematik savaşı, ilk bakışta sadece renkli bir tarih hikâyesi gibi görünür. Ama bu kavganın gerçek mirası çok daha derindi: matematikçiler, "imkânsız" görünen sanal sayılarla yüzleşmek zorunda kaldılar.

İşte bu, matematiğin tekrar tekrar yaşadığı o güzel döngüdür: Önce bir kavram "imkânsız" ya da "saçma" diye reddedilir (negatif sayılar, irrasyonel sayılar, sıfır, sonsuzluk gibi), sonra zamanla onun olmadan yapamayacağımız anlaşılır. Bir Rönesans kavgasının ortasında doğan o "hayalî" sayılar, bugün cebimizdeki telefondan atom altı fiziğe kadar her yerde, son derece gerçek işler yapıyor.