Champernowne Sayısı: İçinde Tüm Sayıları Barındıran Sayı

Garip Bir Tarif

Bir sayı yapalım. Virgülle başlayalım ve ardından bütün doğal sayıları sırayla arka arkaya yazalım:

$0,\!123456789101112131415\dots$

Yani önce $1, 2, 3, \dots, 9$, sonra $10, 11, 12, \dots$ diye sonsuza kadar. Bu, gerçek bir matematiksel sayıdır ve onu ilk inceleyen kişinin adıyla Champernowne sayısı olarak bilinir ($1933$).

İlk bakışta sadece tuhaf bir oyun gibi görünür. Ama bu sayının olağanüstü bir özelliği vardır.

İçinde Her Şey Var

Champernowne sayısının ondalık açılımı, tanımı gereği her doğal sayıyı içinde barındırır — çünkü onları zaten sırayla yazdık. Ama daha fazlası doğrudur: bu sayının içinde herhangi bir rakam dizisi, eninde sonunda mutlaka geçer.

• Doğum gününüz? İçinde var.
• Telefon numaranız? İçinde var.
• Bir kitabın tüm sayfalarını rakama çevirseniz? O dizi de bir yerde geçer.

Çünkü sayı tüm doğal sayıları sırayla içerdiğinden, herhangi bir sonlu rakam dizisi de bir doğal sayıdır ve dolayısıyla bu açılımda bir yerlerde mutlaka belirir. İçinde sonsuz bir kütüphane saklıdır.

“Normal Sayı” Ne Demek?

Champernowne sayısı, matematikte normal sayı denen özel bir sınıfın ilk açıkça inşa edilmiş örneğidir. Normal bir sayıda, ondalık açılımdaki her rakam ($0$’dan $9$’a) ve her rakam grubu, uzun vadede eşit sıklıkta geçer. Yani hiçbir rakam diğerinden “ayrıcalıklı” değildir.

İlginç olan şu: matematikçiler neredeyse tüm gerçek sayıların normal olduğunu bilir; ama bir sayının normal olduğunu kanıtlamak çok zordur. Mesela $\pi$ sayısının normal olup olmadığı hâlâ kesin bilinmiyor — kuvvetle muhtemel ama kanıtlanmadı. Champernowne sayısının güzelliği, normalliğinin kanıtlanabilmesidir.

Bir Sayıda Sonsuz Bilgi mi?

“İçinde her şey var” fikri kulağa neredeyse mistik gelir, ama bir tuzağa dikkat: bu, sayının “bilgi içerdiği” anlamına gelmez. Bir diziyi orada bulmak için, o diziyi zaten bilmeniz gerekir; sayının kendisi size hiçbir şey söylemez. Tıpkı sonsuz maymun teoremindeki gibi: her metin bir yerde vardır, ama onu ayıklamak ana metni yazmaktan zordur.

Champernowne sayısı, basit bir kuralın ($1, 2, 3, \dots$ yaz) nasıl sonsuz zenginlikte bir nesne yaratabileceğini gösterir. Matematikte bazen en sade tarif, en şaşırtıcı dünyaların kapısını açar.