Edward Waring: "Bu Çok Derin" Diye Bilinen Bir Problemi Açan Cambridge'in Unutulmuş Profesörü

Bir teori atmak, hayatta bir kez

1770'te Cambridge'de yayımlanan Meditationes Algebraicae adlı kitabın bir köşesinde, geçişte söylenmiş bir cümle var:

"Her pozitif tam sayı, en fazla 4 kare, en fazla 9 küp, en fazla 19 dördüncü kuvvetin toplamı olarak yazılabilir. Daha yüksek kuvvetler için de benzer sınır vardır."

Yazar: Edward Waring, Cambridge'in Lucasian Matematik Profesörü (Newton'un kürsüsü). Kitap ezoterik, dil ağır, ispat yok. Ama bu tahmin 220 yıl süren bir araştırma alanı doğurdu: Waring problemi.

Hayatın kısa hatları

• Doğum: 1736, Old Heath, Shropshire (İngiltere).
• Ölüm: 15 Ağustos 1798.
• Köken: Köy çiftçisi ailesi, mütevazı.
• Eğitim: Yerel ücretsiz okul, sonra Magdalene College, Cambridge (1753, 17 yaşında).
• Tıp diploması: 1767 — uygulamadı.

Köyden Cambridge'e giden istisnai bir yolculuk. Waring kendi başına matematik öğrenmiş, doğal bir zekaydı. Magdalene'da hocaları onun cebir yeteneğini hemen fark etti.

Lucasian Matematik Profesörü (1760-1798)

1760'ta, sadece 24 yaşında, Newton'un eski kürsüsüne atandı. 38 yıl bu görevi sürdürdü (Newton, Whiston, Barrow'dan sonra). Cambridge'in en prestijli matematik pozisyonu.

Ancak Lucasian profesörü olmasına rağmen, çağdaşları onu pek dinlemedi. Sebep ders verme tarzıydı:

• Ezoterik, fazla teknik.
• Latince yazımı bile çağdaşlar için bulanık.
• "İspatlar atlanır, sezgiye dayanır" diye eleştirildi.
• Tartışmaktan kaçınır, içe dönük bir kişiliği vardı.

Bir öğrencisi şöyle yazdı: "Waring'in derslerinde tek bir kelimeyi anlayamadım. Ama kitaplarını okudukça mucize bulduğunu fark ettim."

Meditationes Algebraicae (1770)

Ana eseri. İçinde:

Wilson teoremi yayını

John Wilson (öğrencisi, 1741-93) bir gözlemi Waring'e söyledi: $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$ ⟺ $p$ asal. Waring kitabında bunu "Wilson teoremi" diye yayımladı, ispatın olmadığını açıkça yazdı, ama "ispatı bulmayı çok zor buluyorum, sayıları temsil edecek genel notasyon yok" dedi.

Waring'in açık dürüstlüğü dikkate değer. Lagrange sadece 1 yıl sonra (1771) tam ispatı verdi. Hocanın "ispatlayamam" demesi, öğrencinin tahmini, başka birinin ispatı — modern bilimin kolaboratif paradigmasının klasik bir örneği.

Waring problemi

"$k \geq 1$ için, her pozitif tam sayı $n$, en fazla $g(k)$ tane $k$-inci kuvvetin toplamı olarak yazılabilir. $g(k)$ sonludur."

• $g(2) = 4$ (Lagrange'ın dört kare teoremi, 1770 — Waring'le aynı yıl!).
• $g(3) = 9$ (Wieferich 1909).
• $g(4) = 19$ (Balasubramanian, Deshouillers, Dress 1986 — modern!).
• $g(5) = 37, g(6) = 73, \ldots$

Hilbert 1909'da $g(k)$'nın her $k$ için sonlu olduğunu kanıtladı (ispat zarif, kombinatoryal-analitik). Bu, Hilbert-Waring teoremidir.

Diğer içerik

• Polinom kökleri ile katsayılar arasında ilişkiler (Newton özdeşliklerinin uzantısı).
• Cebir Temel Teoremi için bir kanıt girişimi (eksikti ama Gauss 1799'a önemli zemin hazırladı).
• Üçüncü ve dördüncü dereceden denklemlerin nümerik çözümü.

Diğer eserler

• Miscellanea Analytica (1762): sayısal seriler, asimptotik analiz.
• Proprietates Algebraicarum Curvarum (1772): cebrik eğriler.
• Meditationes Analyticae (1776): kalkülüs.

Hepsi Latince, hepsi zor. Birçoğu yarım kaldı. Waring kitaplarını öğrencileri için değil, kendisi için yazıyordu sanki.

"Bilimsel olarak yanlış anlaşılmış" yaşam

Çağdaşları Waring'i ya dahi ya anlaşılmaz olarak gördü. 1763'te Royal Society üyesi oldu. 1784'te Copley Madalyası kazandı — bilim dünyasının "Nobel öncesi" en büyük ödülü. Yine de:

• Cambridge dışında onu okumak isteyen pek yoktu.
• Avrupa'da Euler ve Lagrange çağı vardı; Waring'in Latince eserleri Fransa-Almanya'ya geç ulaştı.
• Hayatının son 10 yılında derin depresyon ve dini sıkıntı yaşadı.
• Asla evlenmedi.
• 1798'de Plealey köyünde (Shropshire) öldü.

İlginç gözlem: Waring'in matematik üretkenliği özellikle son 20 yılda azaldı. Çağdaşı James Wood'a göre "Newton'un kürsüsünün ağırlığı altında ezildi".

Geç tanınma

Hardy ve Wright'ın An Introduction to the Theory of Numbers (1938) — modern klasik — Waring'i ciddiyetle ele alır. Hardy 20. yüzyılın ilk yarısında Waring problemine Ramanujan ve Littlewood ile birlikte çalıştı. "Çember yöntemi" (circle method) ile Waring problemi modern analitik sayı teorisinin merkezi araçlarına bağlandı.

Bugün Waring problemi:

• $g(k)$ sayıları kombinatoryal yaklaşımla bulunur.
• $G(k)$ (yeterince büyük tam sayılar için minimum sayı) çok daha küçüktür: $G(2) = 4$, $G(3) = 7$ (sanılı), $G(4) = 16$, vs.
• Vinogradov teoremi (1930-50'ler) ve modern devamı analitik sayı teorisinin temel taşları.

Mirası

Edward Waring, iki teorem ve bir problem bıraktı:

• Wilson teoremi yayını (1770) — adı öğrencisinin.
• Hilbert-Waring teoremi (1909) — tahmini 139 yıl sonra ispatlandı.
• Waring problemi — modern analitik sayı teorisinin yaşayan bir kaynağı.

Newton'un kürsüsünde 38 yıl. Bilimsel ödüllerin doruğu (Copley). Yine de popüler matematik tarihinin hatırlamadığı bir figür. Hardy şöyle yazdı: "Waring'in kitabı zor değildir — sadece okunamayacak kadar kötü yazılmıştır."

Ama içindeki gözlemler tarihi kıvrımlar yarattı:

• 17 yaşında köy çocuğu Cambridge'e gelir.
• 24 yaşında Newton'un kürsüsünde oturur.
• 34 yaşında, dipnot olarak attığı tahmin, 250 yıl sonra hâlâ araştırma konusu olur.

Waring'in mirası basit bir ders: matematik tarihinde "popüler olmamak", "etkili olmamak" demek değil. Bazen sessiz bir Cambridge profesörünün 1770'te attığı bir cümle, yüzlerce sayfa modern analiz doğurur.