Élie Cartan: Modern Geometrinin Sessiz Mimarı

Bir demircinin oğlu

Élie Joseph Cartan 9 Nisan 1869'da Fransa'nın güneydoğusundaki Dolomieu köyünde doğdu. Babası Joseph Cartan köy demircisiydi; annesi çiftçi. Élie'nin çocukluğu örstün sesi ve dağ havasıyla geçti. Ailenin parası yetmiyordu; eğer köy okulunda bir müfettiş çocuğun parlaklığını fark etmeseydi, Élie Cartan ya demirci ya rahip olarak ölecekti.

Müfettiş Antonin Dubost (sonradan Fransız Senatosu başkanı olacak), 10 yaşındaki Élie'yi sınadı ve devlet bursuyla liseye gönderilmesini sağladı. Vienne, Grenoble, Paris... Cartan birinden ötekine geçerek 1888'de École Normale Supérieure'a girdi. Burada Henri Poincaré, Picard ve Hermite'in derslerini dinledi.

Lie cebirlerinin sınıflandırması (1894)

25 yaşındaki Cartan'ın doktora tezi — Sur la structure des groupes de transformations finis et continus — bir devrim niteliğindeydi. Norveçli Sophus Lie, sürekli dönüşüm grupları (bugün Lie grupları) teorisini kurmuş ama bu grupların altında yatan cebirsel yapıyı tam çözememişti. Alman matematikçi Wilhelm Killing önemli adımlar atmış ama kanıtları boşluklu, sınıflandırması hatalıydı.

Cartan tezi Killing'in çalışmasını eksiksiz, sağlam, tertemiz bir hale getirdi. Bugün Cartan-Killing sınıflandırması olarak bilinen sonuç şudur: kompleks sayılar üzerindeki tüm yarı-basit Lie cebirleri dört sonsuz aile ($A_n, B_n, C_n, D_n$) ve beş istisnai cebirden ($G_2, F_4, E_6, E_7, E_8$) oluşur. Bu liste hem matematik hem fizik için bir periyodik tablo rolü oynar — modern parçacık fiziğindeki simetri gruplarının çoğu bu listededir.

Sessiz yıllar (1894-1909)

Tezin parlaklığına rağmen Cartan'a Paris'te yer verilmedi; Montpellier, Lyon, Nancy üniversitelerinde 15 yıl geçirdi. Bu yıllarda öğretmenlik yaptı, yazdı, sessizce devasa bir matematik inşa etti. Ne ödül kovaladı, ne kürsü dilendi.

1903'te köy oğlu Marie-Louise Bianconi ile evlendi; dört çocukları oldu. Oğullarından Henri Cartan (1904-2008) yüzyılın en etkili matematikçilerinden biri olacak, Bourbaki grubunun kurucularındandı.

Diferansiyel formlar (1899-1936)

Cartan'ın belki en kalıcı katkısı diferansiyel formlar hesabıdır. 19. yüzyıl matematiği vektör analizi, koordinat hesabı ve indeks cangılında kayboluyordu. Cartan, $dx \wedge dy$ gibi "kama çarpımı" (wedge product) ile çalışan dış cebir ile birlikte $d$ türev operatörünü tanıttı; Stokes teoreminin tüm boyutlardaki tek tip ifadesini buldu:

$\int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega$

Bu tek formül; klasik gradient, divergence, curl teoremlerinin hepsini özel hal olarak içerir. Bugün her diferansiyel geometri dersi bu çatıyla başlar.

Dahası dış türev $d$, koordinat seçiminden bağımsızdır — yani gerçekten "geometrik" bir nesnedir. Cartan 1899'da bu formalizmi tanıttığında matematik dünyası garipsedi; bugün hiç kimse onsuz çalışamaz.

Hareketli çatı (repère mobile)

Cartan'ın ikinci büyük teknik buluşu hareketli çatı yöntemidir. Bir eğri ya da yüzey üzerinde her noktaya bir koordinat çatısı (frame) yerleştirir ve bu çatının nasıl döndüğünü izler. Bu yöntem bağlantılar (connections) kavramının doğmasına yol açtı.

1923-1925 arasında Cartan Cartan bağlantısı ve eğrilik formları ile diferansiyel geometriyi yeniden yazdı. Einstein'ın genel görelilik kuramı yeni yayınlanmıştı (1915); Cartan, görelilik için gereken Riemann geometrisini çok aşan affine, projektif, konformal bağlantılar geliştirdi. 1928'de yazdığı Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann hâlâ klasiktir.

Spinörler (1913)

1913'te Cartan spinör kavramını keşfetti. Vektörden farklı, dönüşümler altında "yarı dönen" matematiksel nesneler. O zaman bu sadece soyut bir bulguydu. 1928'de Paul Dirac elektron için kendi denklemini yazdığında — kuantum mekaniği ile özel göreliliği birleştirirken — kullandığı matematiksel nesnenin tam tamına Cartan'ın spinörü olduğu anlaşıldı.

Bugün elektron, proton, kuark — tüm fermyonlar — spinör matematiğiyle tanımlanır. Standart Model'in tüm Lagranjyanları spinör-temellidir. Cartan, fiziği 15 yıl öncesinden hazırladı.

Geç tanınma

Cartan ancak 1912'de Sorbonne'a çağırıldı; 1924'te kürsü aldı. Fransız Bilim Akademisi'ne 1931'de — 62 yaşında — seçildi. Bourbaki kuşağı (oğlu Henri dahil) 1930'larda Cartan'ı yeniden keşfedip yücelttiğinde kendi kuşağı çoktan emekli olmuştu.

İngiliz matematikçi Hermann Weyl, Cartan hakkında şunu yazdı: "O, çağının en derin geometricilerindendi; eserlerini herkes okudu, ama onun gibi kimse anlayamadı."

Ölüm ve miras

Élie Cartan 6 Mayıs 1951'de Paris'te öldü, 82 yaşında. Geriye 186 makale, 14 kitap, beş Lie grubu, sayısız "Cartan teoremi" ve modern geometrinin tüm dilini bıraktı.

Bugün:

• Cartan alt cebiri, Cartan matrisi, Cartan ayrışımı, Cartan-Hadamard teoremi, Cartan-Weyl temeli...
• Standart Model'in $SU(3) \times SU(2) \times U(1)$ simetri grubunun sınıflandırması: Cartan-Killing.
• Diferansiyel geometri, lif demetleri, holonomi: Cartan dilinde.

Babası örs döverken Élie, modern matematiğin temellerini dövdü.