Ernst Kummer: Fermat'yı Çözmek İçin "İdeal Sayılar" Yaratan Prusyalı

Bir muhasebeci ailesinden gelen dahi

Ernst Eduard Kummer 29 Ocak 1810'da Sorau (bugünkü Polonya, Żary) doğdu. Babası bir doktor, üç yaşında kolera salgınında öldü; annesi yedi çocukla kaldı. Ailenin geçim sıkıntısına rağmen Ernst lise ve Halle Üniversitesi'ne devam etti.

İlk hedef teolojiydi ama matematik onu çekti; Heinrich Scherk ile çalışıp 1831'de hipergeometrik seriler üzerine doktora aldı. Lise öğretmenliği yaptı (Sorau, Liegnitz), 10 yıl sonra 1842'de Breslau Üniversitesi'ne profesör; 1855'te Berlin Üniversitesi'nde Dirichlet'in halefi oldu — Alman matematiğinin en prestijli koltuğu.

Yanlış kanıt (1844)

Fermat'nın Son Teoremi $n=3, 4, 5, 7$ için biliniyor; genel $n$ direnmeye devam ediyordu. Gabriel Lamé 1847'de Paris Bilimler Akademisi'nde "tam çözüm" sundu. Yöntem: $x^n + y^n$ ifadesini $n$. dereceden birim kökler kullanarak siklotomik halkada çarpanlarına ayırmak:

$x^n + y^n = \prod_{k=0}^{n-1}(x + \zeta_k y)$

ve bu çarpanlar üzerinde tek çarpanlara ayırma varsayımı.

Kummer Lamé'nin kanıtını gördüğünde tek bir cümleyle eleştirdi: "Bu varsayım yanlış." Aslında siklotomik halka $\mathbb{Z}[\zeta_n]$'de asal çarpanlara ayırma tek değil. Üç yıl önce — 1844'te — Kummer'in kendisi de aynı varsayımla çalışıp bunu fark etmişti. Acı bir tecrübeden gelen uyarı.

Örnek: $\zeta = e^{2\pi i/23}$ siklotomik halkasında 23. dereceden birim kök katılır; bu halkada bazı elemanlar iki farklı şekilde asal çarpanlarına ayrılır.

İdeal sayıların icadı (1844-1847)

Kummer şu soruyu sordu: "Eğer asal çarpanlara ayırma tek değilse, belki gerçek sayılardan daha geniş bir nesne kümesinde tek hale getirebiliriz."

İcadı: ideal sayılar (ideale Zahlen). Bunlar "hayali" sayılardı — halkanın gerçek elemanları değil, ama onlar gibi davranan, çarpılabilir, çarpanlarına ayrılabilen sembolik nesneler.

Kummer ideal sayılarla çalıştığında tek çarpanlama yeniden geçerli oluyordu. Çünkü gerçek sayılar arasında "kayıp" olan çarpanlar, ideal sayılar arasında bulunabiliyordu. Modern terimle: gerçek sayıların oluşturduğu halkanın ideallerinin çarpımı altında.

Kummer'in "ideal sayıları" daha sonra Richard Dedekind tarafından (1871) idealler kavramına dönüştürüldü — Kummer'in özel inşası, Dedekind'in soyut tanımının somut örneği oldu. Modern cebrin temel kavramlarından biri böyle doğdu: Fermat'yı çözememekten doğan icat.

Düzenli asallar (1850)

Kummer, ideal sayıları kullanarak Fermat'nın Son Teoremini düzenli asallar denilen geniş bir asal sınıfı için kanıtladı. Bir asal $p$, $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ siklotomik halkasının sınıf sayısını bölmüyorsa düzenlidir.

Kummer'in 1850 sonucu: $p$ düzenli asal ise $x^p + y^p = z^p$'nin $xyz \neq 0$ tam sayı çözümü yoktur.

İlk birkaç asal düzenli: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. İlk düzensiz asal: 37. Sonra 59, 67, 101, 103, ...

%60 asalın düzenli olduğu sanılır (asimptotik olarak), ama bunu kanıtlamak hâlâ açık problem. Düzensiz asalların sonsuz olduğu kanıtlanmış ama düzenli asallar için aynı şey hâlâ açık (!) — sayılar teorisinin garip bir asimetrisi.

Kummer yüzeyleri

Kummer'in cebirsel geometriye katkısı da var: Kummer yüzeyleri (1864). Bunlar 16 izole tekillik içeren dördüncü dereceden cebirsel yüzeylerdir.

İlginç bir bağ: bu yüzeyler iki-boyutlu Abelyen çeşitlerin $\{\pm 1\}$ etkisi altındaki bölüm uzaylarıdır. Modern cebirsel geometride K3 yüzeyleri ailesinin en eski özel hallerinden biri.

Berlin yılları (1855-1883)

Berlin'de Kummer 28 yıl ders verdi. Öğrencileri arasında Georg Cantor (kümeler teorisi), Hermann Schwarz (eşitsizlik), Lazarus Fuchs (diferansiyel denklemler), Paul du Bois-Reymond vardır. Berlin'i Göttingen'le birlikte dünya matematiğinin merkezine taşıyan üçlüden biri oldu: Kummer, Kronecker, Weierstrass.

Kronecker yakın arkadaşıydı; ama Kronecker'in "yalnızca tam sayılar gerçektir" (inşaacı) tutumunu paylaşmıyordu. Kummer ideal sayılar ve sonsuz kümelerle daha esnek çalışırdı.

Politik geçmiş

Kummer 1809 doğumlu Alman entelektüellerin tipik yolunu izledi: Napolyon savaşları sonrası Prusya milliyetçiliği, 1848 devrimine sempati, ardından Bismarck dönemine politik uyum. 1840-1842 arası Liegnitz Lisesi'nde fizik dersleri verdi; bu sırada Leopold Kronecker ve Ferdinand Joachimsthal öğrencileriydi. Lise öğretmenlik tecrübesinin Berlin'deki pedagojisinde belirleyici olduğu söylenir.

Ölüm ve miras

Kummer 14 Mayıs 1893'te Berlin'de öldü, 83 yaşında. Geriye 60'tan fazla makale ve bir miras: modern cebirsel sayı teorisi.

Fermat'nın Son Teoremi 1995'te Andrew Wiles tarafından çözüldüğünde, kullanılan araçlar — eliptik eğriler, modüler formlar, Galois temsilleri — Kummer'in 19. yüzyıl idealistinden çok uzak görünüyordu. Ama yöntemin ilk adımları olan cebirsel sayı teorisi, doğrudan Kummer'in icatları üzerine inşa edilmişti.

"Bir yanlış kanıt" başlayan yolculuk, modern cebrin ana caddelerinden birine dönüştü. Bilimde başarısızlığın da nasıl üretken olabileceğinin en güzel örneklerinden biri.