Ferdinand von Lindemann: Pi'yi Aşkın İlan Eden Matematikçi

Hannover'li öğretmen oğlu

Carl Louis Ferdinand von Lindemann 12 Nisan 1852'de Hannover'da, Yunanca ve modern diller öğretmeni bir babanın oğlu olarak doğdu. Eğitiminin büyük kısmı Schwerin'de geçti.

Matematik eğitimini Göttingen, Erlangen ve Münih üniversitelerinde aldı. Doktora hocası ünlü Felix Klein'dı (Erlangen Programı'nı yazan kişi). 1873'te 21 yaşında doktorasını verdi.

Doktora sonrası Paris'e (Hermite ile çalışmak için) ve Cambridge'e gitti, dönemin büyük matematikçileriyle tanıştı. 1879'da Freiburg Üniversitesi'nde profesör oldu; 1893'te Münih Üniversitesi'ne geçti ve 1923'te emekliye ayrılana dek orada çalıştı.

1882: Hayatının teoremi

Lindemann tüm uzun ve verimli akademik kariyeri boyunca pek çok şey yaptı, ama tek bir teorem ona ölümsüzlük getirdi. 1882'de 30 yaşındayken "Über die Zahl $\pi$" (Sayı $\pi$ Üzerine) başlıklı 13 sayfalık bir makale yayımladı.

İçeriği bomba: $\pi$ aşkın bir sayıdır.

Aşkın (transcendental) ne demek? Bir sayının aşkın olması, hiçbir rasyonel katsayılı polinom denkleminin kökü olmaması demektir. Yani $\pi$ hiçbir $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ (rasyonel $a_i$'lerle) denklemine cevap vermez.

Bunun tersi cebirsel sayıdır. $\sqrt{2}$ cebirseldir çünkü $x^2 - 2 = 0$'ın köküdür. $\sqrt[3]{5}$ cebirseldir çünkü $x^3 - 5 = 0$'ın köküdür. Ama $\pi$ — hiçbir polinom denklemine girmez.

Niye önemli?

Bu teorem matematik tarihinde iki büyük problemi sonsuza dek kapattı:

1) Çemberin Kuadratürü

2000 yıldır matematikçiler şu soruyu çözmeye çalışıyordu: "Verilen bir çemberle aynı alana sahip bir kareyi pergel-cetvelle inşa edebilir miyiz?"

Çemberin alanı $\pi r^2$. Aynı alana sahip karenin kenarı $\sqrt{\pi} \cdot r$. Yani sorun: $\sqrt{\pi}$ pergel-cetvelle inşa edilebilir mi?

Pergel-cetvelle inşa edilebilen sayılar cebirseldirler (rasyonel sayılardan ardışık kare köklerle elde edilebilir). Eğer $\sqrt{\pi}$ inşa edilebilseydi, $\pi = (\sqrt{\pi})^2$ de cebirsel olmalıydı. Ama Lindemann $\pi$'nin aşkın olduğunu kanıtladı; dolayısıyla çemberin kuadratürü kesinlikle imkânsız.

2000 yıllık problem, tek bir teoremle çözüldü.

2) Aşkın sayılar teorisi

Lindemann'dan önce sadece az sayıda belirli aşkın sayı biliniyordu:

• Liouville sayıları (1844): yapay olarak inşa edilmiş ilk aşkın sayılar
• $e$ sayısı: Charles Hermite 1873'te aşkınlığını kanıtladı

Hermite'in $e$ için tekniği zariftı; ama $\pi$ için işe yaramıyordu. Lindemann Hermite'in yöntemini genişleterek $\pi$ için de uyguladı.

Lindemann'ın tekniği daha sonra Karl Weierstrass tarafından genelleştirildi: Lindemann-Weierstrass teoremi (1885) der ki, cebirsel sayıların doğal logaritmaları cebirsel ilişkili değilse, üstel ifadeleri aşkındır. Bu büyük teorem $e^\pi$, $\ln 2$ gibi pek çok sayının aşkınlığını verir.

Kanıtın özü

Lindemann'ın kanıtı kompleks analiz ve e'nin aşkınlığı (Hermite) üzerine kuruludur. Sezgisel olarak:

1. Euler özdeşliği kullanarak: $e^{i\pi} + 1 = 0$, yani $e^{i\pi} = -1$.
2. Eğer $\pi$ cebirsel olsaydı, $i\pi$ de cebirsel olurdu (çünkü $i$ cebirsel).
3. Cebirsel bir sayının üsteli olan $e^{i\pi}$ aşkın olmak zorundadır (Hermite'in genelleştirilmiş yönteminden).
4. Ama $e^{i\pi} = -1$ cebirseldir (bir polinomun kökü).
5. Çelişki. Demek ki $\pi$ cebirsel olamaz; aşkın olmalıdır.

Bu zincir matematik kanıtlarının en zarif örneklerinden biridir. Modern matematik öğretiminde standart bir konu.

Lindemann'ın diğer çalışmaları

Lindemann sadece bu teoremle değil:

• Diferansiyel geometri üzerine önemli çalışmalar.
• Hipergeometrik fonksiyonlar araştırmaları.
• Tarihsel matematik üzerine yazılar.

Ama hepsi $\pi$ teoreminin gölgesinde kaldı.

Münih'te öğretmen ve mentor

Lindemann Münih'te 30 yıl çalıştı. Sayısız öğrenci yetiştirdi; ünlü öğrencileri arasında:

• David Hilbert (1885 doktora): Modern matematiğin en büyük figürlerinden biri olacaktı.
• Hermann Minkowski: Özel görelilik için "Minkowski uzayı"'nı geliştiren matematikçi.
• Constantin Carathéodory: Modern olasılık ve ölçü teorisinin önemli figürlerinden.

Yani Lindemann 20. yüzyıl matematiğinin önemli figürlerinin yetişmesinde merkezi bir rol oynadı. Sınıfında oturup Lindemann'ı dinleyen öğrenciler, sonradan modern matematiğin omurgasını kuracaklardı.

Şahsi hayat

1892'de Lisa Küssner ile evlendi. Üç çocukları oldu. Lisa kendi başına yetenekli; Lindemann'ın matematik makalelerinin çoğunu yazıya geçirdi ve bazı pedagojik kitaplarını birlikte yazdılar.

Lindemann ayrıca tiyatro ve müzik tutkunuydu; Münih kültür hayatının aktif bir parçasıydı. Bayerische Akademie der Wissenschaften (Bavyera Bilimler Akademisi) başkanlığı yaptı.

Son yıllar ve mirası

Lindemann 6 Mart 1939'da Münih'te öldü. Nazi döneminde sona eren bu sade hayat, sessiz bir kapanış oldu.

Matematik tarihinde Lindemann "$\pi$'yi aşkın ilan eden adam" olarak hatırlanır. 2000 yıllık bir problemi tek başına çözen kişi olarak. Doktorası Felix Klein'dan, öğrencileri arasında Hilbert: modern matematiğin genetik ağacında merkezi bir bağ.

Bir teorem, bir kanıt, bir matematiksel devrim — Lindemann'ın 1882 yazısı, kalem-kâğıt ile yapılabilecek matematiğin en derin sınırını çizdi: bazı sayılar, polinom denklemlerin asla yakalayamayacağı kadar derindir. $\pi$ onlardan biridir.