Fermat'nın Son Teoremi: Bir Kitap Kenarına Yazılan ve 358 Yıl Çözülemeyen Not

Kenara Düşülen O Not

Yıl 1637 dolayları. Fransız hukukçu ve tutkulu bir amatör matematikçi olan Pierre de Fermat, antik Yunan matematikçi Diophantus'un Arithmetica adlı kitabını okuyordu. Bir sayfanın kenarına, Latince şu notu düştü:

Bu önermenin gerçekten harika bir kanıtını buldum, ama bu kenar boşluğu onu yazmak için fazla dar.

Fermat'nın iddia ettiği önerme şuydu: Şu denklemin, n ikiden büyük bir tam sayı olduğunda, pozitif tam sayılarla hiçbir çözümü yoktur:

$$x^n + y^n = z^n$$

Neden Bu Kadar Şaşırtıcı?

n = 2 durumunu hepimiz biliyoruz — bu, Pisagor teoremidir ve sonsuz çözümü vardır: 3² + 4² = 5², 5² + 12² = 13² ve daha nicesi.

Fermat ise dedi ki: Üssü bir artırın, yani küplere geçin (n=3), ya da dördüncü, beşinci... kuvvetlere — ve çözüm tamamen yok olur. Hiçbir pozitif tam sayı üçlüsü x³ + y³ = z³ denklemini sağlamaz. Aynı şey 4, 5, 6 ve sonsuza kadar tüm üsler için geçerlidir.

Bu iddianın sade güzelliği şuradadır: Söylemesi bir lise öğrencisinin anlayacağı kadar basit, ama kanıtlaması yüzyıllarca insanlığın en parlak zihinlerini yenecek kadar zordur.

Üç Buçuk Asırlık Kuşatma

Fermat öldükten sonra notları bulundu ama o "harika kanıt" hiçbir yerde yoktu. Geriye yalnızca iddia kaldı. Ve matematik dünyası kolları sıvadı:

• Euler, 18. yüzyılda n = 3 durumunu kanıtladı.
• Sophie Germain, 19. yüzyılın başında (kadınların akademiye kabul edilmediği bir dönemde, erkek takma adıyla çalışarak) bütün bir asal sayı sınıfı için önemli ilerlemeler kaydetti.
• Dirichlet ve Legendre, n = 5 durumunu çözdü.
• Gabriel Lamé, n = 7 için uğraştı.

Ama bunlar tek tek üsler içindi. Teoremin tüm üsler için, yani sonsuz durum için aynı anda kanıtı bir türlü gelmiyordu. Sorun o kadar ünlüydü ki, 1908'de bir ödül (Wolfskehl Ödülü) kondu ve binlerce amatör "kanıt" gönderdi — hepsi hatalıydı.

Beklenmedik Bir Köprü

Çözümün anahtarı, hiç beklenmedik bir yerden, 20. yüzyılın ortalarında geldi. Japon matematikçiler Taniyama ve Shimura, görünüşte tamamen ilgisiz iki matematik alanı arasında derin bir bağ olduğunu öne sürdü: eliptik eğriler ile modüler formlar. Bu "Taniyama-Shimura varsayımı" başta Fermat'yla alakasız görünüyordu.

Sonra 1980'lerde matematikçiler şunu gösterdi: Eğer Fermat'nın Son Teoremi yanlış olsaydı (yani bir çözüm bulunsaydı), bu çözüm öyle tuhaf bir eliptik eğri yaratırdı ki, Taniyama-Shimura varsayımını ihlal ederdi. Demek ki: Taniyama-Shimura doğruysa, Fermat'nın Son Teoremi de doğru olmak zorundaydı. Bilmece artık modern matematiğin tam kalbine bağlanmıştı.

Andrew Wiles'ın Gizli Yedi Yılı

Sahneye İngiliz matematikçi Andrew Wiles çıkar. Wiles, on yaşında bir çocukken kütüphanede Fermat'nın Son Teoremi'ni okumuş ve hayatını ona adamaya karar vermişti. Yetişkin bir matematikçi olduğunda, Taniyama-Shimura bağlantısını duyunca, çocukluk hayalini gerçekleştirme şansını gördü.

Wiles, son derece sıra dışı bir şey yaptı: Yedi yıl boyunca, neredeyse tam bir gizlilik içinde, kimseye söylemeden bu problem üzerinde çalıştı. 1993'te bir konferansta sonuçlarını açıkladığında matematik dünyası çalkalandı.

Ama hikâye burada bitmedi. Kanıtı incelenirken ciddi bir boşluk bulundu. Wiles bir yıl daha, bu kez eski öğrencisi Richard Taylor'ın yardımıyla, umutsuzca açığı kapatmaya çalıştı. Tam pes etmek üzereyken, 1994'te bir an gelir — Wiles'ın "hayatımın en önemli anı" diye tanımladığı o an — ve eksik parça yerine oturur. 1995'te kusursuz kanıt yayımlandı.

358 yıl sonra, Fermat'nın notu nihayet bir teoreme dönüşmüştü.

Fermat Gerçekten Kanıtı Bulmuş muydu?

Neredeyse kesinlikle hayır. Wiles'ın kanıtı, 20. yüzyıl matematiğinin Fermat'nın hayal bile edemeyeceği araçlarını (modüler formlar, Galois temsilleri) kullanır ve yüzlerce sayfa sürer. 17. yüzyılda bir kitabın kenarına sığacak bir kanıt değildir.

Çoğu matematikçi, Fermat'nın aklındaki "kanıtın" muhtemelen gizli bir hata içerdiğine inanır — belki n=3 veya n=4 için işe yarayan ama genele yanlışlıkla genellenen bir akıl yürütme. Yani tarihin en ünlü matematik notu, büyük olasılıkla bir yanılgıydı. Ama o yanılgı, üç buçuk asır boyunca matematiği ileriye taşıdı.

Mirası

Fermat'nın Son Teoremi'nin asıl değeri, sonucun kendisinde değil, onu çözmeye çalışırken icat edilen matematikte yatar. Bu uğraş, sayılar teorisini baştan aşağı zenginleştirdi; cebirsel sayı teorisi, ideal sayılar ve modern aritmetik geometri gibi koca alanlar, kısmen bu bilmeceyle uğraşırken gelişti.

Sonuç

Bir kitabın kenarına düşülmüş kibirli bir not, üç buçuk yüzyıl boyunca insanlığın en parlak zihinlerini meşgul etti ve sonunda bir adamın çocukluk hayalini gerçekleştirmesiyle çözüldü. Fermat'nın Son Teoremi bize şunu hatırlatır: Matematikte bazen en değerli şey, cevabın kendisi değil — onu ararken kat ettiğimiz yoldur.

Bir gün bir kitabın kenarına bir fikir karalarsanız, dikkatli olun: belki yüzyıllarca sürecek bir maceranın fitilini ateşliyorsunuzdur.