François Viète: Modern Cebrin Babası ve Bir Kralın Şifre Kırıcısı

16. yüzyıl sonunda Avrupa, savaş ve dini kavgalarla çalkalanıyordu. Fransa, "Hugenot Savaşları" diye bilinen iç savaşa boğulmuş; Katolik liderler İspanya kralı II. Felipe'nin desteğini almış; Protestan Hugenotlar ise kararsız bir krala (IV. Henri) bağlanmaya başlamıştı.

Tam bu çalkantının ortasında, Fransa'nın güney-batısında, La Rochelle yakınlarındaki Fontenay-le-Comte kasabasında François Viète adlı bir hukukçu yaşıyordu. Gündüzleri hukuk işlerini yürütüyor, yerel asilzadelerin avukatlığını yapıyor; geceleri ise kâğıt kalem alıp matematikle uğraşıyordu.

Bu matematik, modern dünyada bizim "cebir" olarak bildiğimiz şeyin temellerini değiştirecek, hayatın bütün denklem dilini yeniden kuracaktı. Ama aynı parmaklar gündüzleri başka bir iş daha yapıyordu: bizzat kralın talebiyle, İspanya'nın diplomatik ve askeri şifrelerini çözüyordu.

Cebrin "Eski Hâli"

Viète'in zamanına kadar (1591) cebir, hâlâ büyük ölçüde kelimelerle yazılıyordu. Yunan Diofant'tan, İslam matematikçisi El-Harizmi'den, İtalyan Cardano ve Tartaglia'dan bu yana, denklemler şöyle anlatılırdı:

"Bilinmeyenin karesini, bilinmeyenin altı katından çıkarınız; sonuç, sekizdir."

Bunu modern dilde yazalım: $x^2 - 6x = 8$. Görüyoruz ki günümüz öğrencisi için bu denklem 5 saniyede çözülebilir; ama 1500'lerin matematikçisi her şeyi paragraf paragraf cümlelerle yazmak zorundaydı. Kuralları, çözüm yöntemlerini, hatta basit aritmetik manipülasyonları bile uzun, betimsel bir dille ifade ediyorlardı.

Bazı kısaltmalar vardı — örneğin İtalyan matematikçiler $c$, $co$ (kosa, "şey" yani bilinmeyen), $ce$ (kare için) kullanıyordu. Almanlar farklı sembol setleri kullanıyordu. Ama hiçbiri sistematik değildi. Her matematikçi kendi notasyonunu kullanıyordu; metinler birbirine kolay çevrilmiyordu.

Viète'in büyük fikri (1591): Harfler

Viète, 1591'de yayımladığı In artem analyticem isagoge (Analitik Sanata Giriş) adlı küçük kitapta, şu basit ama devrim niteliğindeki adımı attı:

Bilinen büyüklükleri sessiz harflerle ($B, C, D, \ldots$), bilinmeyenleri ise sesli harflerle ($A, E, I, O, U$) gösterelim. Sonra denklemleri, cümlelerle değil, harflerin cebirsel manipülasyonuyla yazalım.

Modern dilde söylersek, Viète "$x$" yerine $A$, "$y$" yerine $E$, sabitler yerine $B$, $C$ kullandı. Ama harf kullanmak tek başına yeterli değildi. Asıl önemli olan, harflerin sadece bilinmeyenleri değil bilinenleri de temsil edebilmesiydi. Yani Viète, "şu özel sayı için bu denklemin çözümü budur" demek yerine, "her $B$, $C$, $D$ için bu denklemin çözümü şu formülle bulunur" diyebildi. Bu, cebrin soyut matematik dalına dönüşmesinin tohumudur.

Örnek: ikinci dereceden denklemin genel çözüm formülünü Viète'ten önce yazmak için "şöyle bir denklem aldığınızda, şu adımları yapın" diye paragraflar gerekiyordu. Viète'ten sonra şu kısa formül yetti:

$x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$

İşte modern matematik dili böyle doğdu.

Tam modern değil, ama yolda

Viète'in notasyonu hâlâ bizim öğrendiğimiz formdan farklıydı. O, üs için "kare", "küp" gibi kelimeler kullanıyordu ($A^2$ yerine "A quadratus"). Çarpmayı "in" kelimesiyle gösteriyordu. Eşittir işareti yoktu (1557'de Robert Recorde tarafından icat edildi ama 17. yüzyıla kadar yaygınlaşmadı).

Modern cebrin sıfır-eşittir-iki-üç notasyonu, Viète'in fikirlerini alıp daha da yalınlaştıran René Descartes (1637) ile gelecekti. Descartes, $x, y, z$ harflerini bilinmeyen olarak kullandı; üsleri yukarı yerleştirdi ($x^2$); eşittir işaretini yaygınlaştırdı.

Ama yapay bir bölünme yapmayalım: modern cebrin temel hamlesi — sayıların kendisini soyut harflerle değiştirmek — Viète'in çığlığıdır. Descartes, Viète'in mirasını taşıyan elçidir.

Şifre kırıcı

Viète'in matematik dışındaki en ünlü hizmeti, İspanyol şifrelerini kırması olayıdır.

1590'da İspanya kralı II. Felipe, Fransa içindeki Katolik isyancı liderlerine diplomatik mesajlar gönderiyordu; bunlar çok karmaşık ikame şifreleri ile şifrelenmişti. Yaklaşık 400 farklı sembol kullanan bir sistemdi; Felipe'nin danışmanları bu şifrenin "Tanrı'nın bile çözemeyeceği" kadar güvenli olduğunu söylüyordu.

Fransız kuvvetleri şifreli bir mektubu yakaladığında, Kral IV. Henri onu Viète'e gönderdi. Viète, bilinen şifre kırma tekniklerini (özellikle harf sıklığı analizi — Müslüman matematikçi El-Kindi'nin 9. yüzyılda formüle ettiği yöntem) sistematik biçimde uyguladı. Birkaç ayda şifreyi tamamen çözdü.

IV. Henri, çözülen mesajları aylarca kendi avantajı için kullandı; İspanyolları savaşta köşeye sıkıştırdı. Eninde sonunda İspanyollar şifrenin kırıldığını fark ettiklerinde olay büyük diplomatik kriz oldu. II. Felipe, Viète'i "büyücülükle" suçlayarak Papa'ya şikâyet etti — şifresinin sıradan bir matematikle çözülebileceğine inanmak istemiyordu.

Bu olay, matematik tarihinde kriptanalizin (şifre kırma biliminin) önemli erken zaferlerinden biridir.

Diğer matematik katkıları

Sembolik cebir devrimi dışında Viète'in başka önemli matematik çalışmaları da vardır:

• Trigonometri: Sinüs ve kosinüsün modern formlardaki çoğu açılım formülünü yazdı. Bugün "Viète formülleri" diye bilinen, çoklu açıları açan eşitliklere katkıları vardır.
• Polinom kökleri: Bir polinomun katsayıları ile kökleri arasındaki ilişkileri yazdı. Modern dilde "Viète formülleri" denilen ifadeler — bir kuadratiğin köklerinin toplamı ile çarpımının katsayılarla ilişkisi gibi — onun adını taşır.
• Pi sayısı: π için sonsuz çarpım açılımı yazdı (1593):
  $\frac{2}{\pi} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdot \ldots$
  Bu, π için bilinen ilk sonsuz çarpım açılımıdır.
• Üçüncü ve dördüncü dereceden denklemler: Cardano-Tartaglia formüllerini daha sistematik (sembolik notasyonla) yeniden yazdı.

Hayatı ve mirası

François Viète, 1540'ta Fontenay-le-Comte'da doğdu. Üniversitede önce hukuk okudu; matematikle akademik olarak değil, boş zamanlarında uğraştı. Çoğu büyük matematikçinin aksine, asla profesyonel bir matematikçi olmadı; her zaman bir hukukçu ve devlet adamı olarak yaşadı.

IV. Henri, onu özel danışmanlarından biri yaptı. Hayatının son on yılında saray görevlerinde bulundu. 13 Şubat 1603'te Paris'te öldü. 63 yaşındaydı.

Cebrin bugünkü hâlini düşündüğümüzde, formüllerin temiz, kısa, soyut yapısının ne kadar Viète'e borçlu olduğumuzu çoğu zaman fark etmeyiz. Modern bir mühendislik öğrencisi "kuadratik denklem" diye yazdığında, Mahkeme mahkemesinde tartışmadan önce evindeki çalışma masasında harflerle oynayan Fransız hukukçuyu çağırmış olur.

Bir hayat dersi olarak: bilimin en büyük devrimleri, profesyonel olarak başka bir şey yapan amatörlerin geceleri yaptığı şeylerden gelebilir. Cebir, bir kralın şifre kırıcısının çalışma odasında modernleşti.