Gauss ve Onyedigen: Bir Pergel-Cetvel Mucizesi ve Mezar Taşına Çizilen Şekil

2000 Yıllık Bir Soru

Antik Yunan'dan beri matematikçiler basit bir oyunla büyülenmişti: yalnızca pergel (daire çizmek için) ve işaretsiz cetvel (doğru çizmek için) kullanarak ne çizebiliriz? Bu iki alet, geometrinin "izin verilen tek araçları" sayılıyordu.

Bu kurallarla düzgün çokgenler çizmek özellikle ilgi çekiciydi. Düzgün çokgen, tüm kenarları ve açıları eşit olan şekildir. Eski Yunanlılar düzgün üçgeni, kareyi, beşgeni ve onbeşgeni pergel-cetvelle çizmeyi biliyordu. Bunlardan ikiye katlama (kenar sayısını $2$ ile çarpma) yöntemiyle altıgen, sekizgen, onikigen gibilerini de türetebiliyorlardı.

Ama bir duvara tosladılar. Düzgün yedigeni (7 kenar), dokuzgeni (9 kenar), onbirgeni (11 kenar) bir türlü çizemiyorlardı. $2000$ yıl boyunca kimse, hangi düzgün çokgenlerin çizilebilir, hangilerinin imkânsız olduğunu bilmiyordu. Bu, geometrinin en eski açık sorularından biriydi.

19 Yaşında Bir Çözüm

$1796$ yılında, henüz $19$ yaşında bir öğrenci olan Carl Friedrich Gauss, bu uzun sessizliği bozdu. Şaşırtıcı bir keşif yaptı: düzgün onyedigen (17 kenarlı çokgen) pergel ve cetvelle çizilebilirdi!

Bu, $2000$ yıldır kimsenin aklına gelmeyen, hatta imkânsız sanılan bir sonuçtu. Antik Yunanlılar $7$'de takılıp kalmışken, Gauss $17$ gibi "tuhaf" bir sayıda bunu başardı. Ama daha da önemlisi, Gauss bunu sadece çizerek değil, neden mümkün olduğunu derin bir sayı teorisi argümanıyla kanıtlayarak gösterdi.

Sırrı: Fermat Asalları

Gauss'un dehası, geometrik bir soruyu bir sayı teorisi sorusuna çevirmesiydi. Bir düzgün çokgeni çizmenin, aslında bazı sayıların belirli karekök işlemleriyle ifade edilip edilemeyeceğine bağlı olduğunu gösterdi. Ve sonucu çarpıcıydı.

Bir düzgün çokgen, ancak ve ancak kenar sayısı şu biçimde olursa pergel-cetvelle çizilebilir: $2$'nin bir kuvveti, çarpı birbirinden farklı Fermat asalları. Fermat asalları, $2^{2^n} + 1$ biçimindeki asal sayılardır:

$3,\quad 5,\quad 17,\quad 257,\quad 65537$

Dikkat edin: $17$, üçüncü Fermat asalıdır! İşte onyedigenin çizilebilmesinin sırrı buydu. Aynı kural, neden $7$'nin (Fermat asalı değil) çizilemediğini de açıklar. Böylece Gauss, hangi çokgenlerin çizilebileceğini tam olarak belirledi — $2000$ yıllık soru kesin biçimde kapandı.

Mezar Taşına Çizilen Gurur

Gauss bu keşfiyle o kadar gururlandı ki, hayatı boyunca onu en sevdiği başarılarından biri olarak andı. Hatta öldüğünde mezar taşına bir düzgün onyedigen çizilmesini istediği söylenir. (İlginç bir not: taş ustası, onyedigeni bir daireden ayırt edilemeyeceği kadar zor bulduğu için bunun yerine $17$ köşeli bir yıldız işlemeyi tercih etmiş; yine de Gauss'un bu şekle verdiği değer efsaneleşti.)

Bu hikâye aynı zamanda Gauss'un kariyerinde bir dönüm noktasıdır: bu genç yaştaki başarı, onu matematiği meslek olarak seçmeye yöneltti ve "Matematikçilerin Prensi" olma yolundaki ilk büyük adımı oldu.

Gauss'un onyedigeni, matematiğin en güzel anlarından birini taşır: $2000$ yıllık bir geometri sorusunun cevabı, geometride değil, sayıların gizli yapısında saklıydı. $19$ yaşında bir gencin, pergel ve cetvelle "çizilebilir olanın sınırlarını" tam olarak çizmesi, soyut düşüncenin gücünü gösterir. Bazen bir şekli çizebilmenin sırrı, çizgilerde değil, sayılarda yatar.