Harmonik Seri: 1 + 1/2 + 1/3 + ... Toplam Sonsuz mu? Hem de Nasıl!

İlk birkaç terim

İşte harmonik seri:

$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{n}$

İlk birkaç toplam:

• $H_1 = 1$
• $H_2 = 1.5$
• $H_4 = 2.083\ldots$
• $H_{10} = 2.929\ldots$
• $H_{100} = 5.187\ldots$
• $H_{1000} = 7.485\ldots$
• $H_{1\,000\,000\,000} \approx 21$

Çok yavaş büyüyor. 1 milyar terim sonra toplam yalnızca 21. Sezgi diyor ki "sınırlı bir sayıya yakınsayacak". Yanıltıcı sezgi.

Nicholas Oresme'nin kanıtı (1350)

Fransız matematikçi Nicholas Oresme (1320-1382) 1350'de bu serinin ıraksaklığını kanıtladı. Klasik kalkülüsten 300 yıl önce.

Kanıt zarif: terimleri gruplara böl.

$1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{> \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}}_{> \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16}}_{> \frac{1}{2}} + \cdots$

Her grupta $2^k$ terim var; toplamları $> \frac{1}{2}$. Sonsuz çok grup, her biri $> 1/2$ → toplam sonsuz.

$H_{2^n} \geq 1 + \frac{n}{2}$

Yani $H_n \to \infty$ olarak ıraksar. Ama olağanüstü yavaş: ilk $n$ terimin toplamı yaklaşık $\log n$.

Asimptotik formül

Euler'in 18. yüzyıldaki muhteşem buluşu:

$H_n = \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + \cdots$

Burada $\gamma \approx 0.5772156649\ldots$ — Euler-Mascheroni sabiti. Bu sayı $\pi$, $e$ kadar temel ama hâlâ irrasyonel mi bilinmiyor (!).

Yani: $H_{10^9} \approx \ln(10^9) + 0.577 = 20.72 + 0.58 = 21.3$. Doğru tahmin.

$H_n = 100$ olması için kaç terim gerekir? $\ln n \approx 100$ → $n \approx e^{100} \approx 10^{43}$. Atom sayısından büyük.

Gemi tarafı taşı paradoksu

Fiziksel bir uygulama: bir tepede taşları üst üste, dışa eğimli kaydırarak yığıyorsunuz. En üst taş ne kadar dışarı çıkabilir?

Denge analizi gösterir: $n$ taşla toplam dışa çıkış:

$\text{çıkış} = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}\right) = \frac{H_n}{2}$

Harmonik seri ıraksak olduğundan: yeteri kadar taşla, üst taş istediğiniz kadar dışarı çıkabilir! 100 taşla 2.6 birim; 10000 taşla 4.6 birim; trilyon taşla 14 birim.

Pratikte rüzgâr, küçük hatalar yapıyı yıkar, ama prensipte bu mümkündür. Matematiksel bir paradoks — sezgiye aykırı.

Bu gemi tarafı taşı veya leaning tower problemi olarak bilinir.

Asal sayı tersleri

Benzer bir soru: asal sayıların terslerinin toplamı?

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \cdots$

Euler 1737: bu da ıraksaktır. Bu sonuç tek başına sonsuz asal var demektir (Öklid'in başka bir kanıtı).

Büyüme hızı: $\sum_{p \leq n} \frac{1}{p} \approx \log \log n$ — iki kat logaritma. İnanılmaz yavaş.

Karşılık olarak ikiz asal tersleri toplamı (Brun teoremi) sonludur. İkiz asallar "daha seyrek".

Alternatif harmonik seri

Alternatif harmonik seri:

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \ln 2 \approx 0.693$

Bu yakınsar (Leibniz testi). İlginç değer: doğal logaritmanın 2'si.

Riemann teoremi (1854): alternatif harmonik seri koşullu yakınsak. Terimlerini yeniden sıralarsanız herhangi bir değere toplam elde edersiniz. Hatta $+\infty$ veya $-\infty$. Olağanüstü.

Zeta fonksiyonu bağlantısı

Genel: $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$

• $s = 1$: harmonik seri, ıraksar.
• $s = 2$: Basel problemi, $= \pi^2/6$ (Euler 1735).
• $s = 3$: Apéry sabiti ≈ 1.2020569 (irrasyonel — Apéry 1978).
• $s = 4$: $= \pi^4/90$.
• Genel: $\zeta(s)$ tüm $s > 1$ için yakınsar; $s \leq 1$ için ıraksar.

Riemann hipotezi $\zeta$'nın "trivial olmayan kökleri" hakkında — milenyum problemlerinden.

Asal teoremine bağlantı

$x$'e kadar asal sayma fonksiyonu $\pi(x)$. Asal sayı teoremi:

$\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}$

Kanıtın özünde $\sum 1/p \sim \log \log n$ var; harmonik seri tipi ıraksaklık. Logaritmik büyümenin tüm yerlerde tekrarı.

Müzikte harmonik

Neden "harmonik" denir? Müzikten gelir: bir telin doğal harmonikleri $1, 2, 3, \ldots$ frekans katlarındaki tonlardır. Bu titreşim modları arasındaki uzunluk oranları $1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots$. Bu seri, müziğin matematiksel zarafetidir.

Pisagor'dan bu yana bilinen, isim Antik Yunan'dan geldi.

Sonuç

Harmonik seri, sezginin ihanet ettiği klasik bir örnek:

• Terimler $\to 0$ ama toplam $\to \infty$.
• Logaritmik hız — astronomik yavaş.
• 700 yıllık bir kanıt (Oresme) hâlâ standart.
• Euler-Mascheroni gibi gizemli sabitler içerir.
• Müzikten finansa, asal sayılara köprü kurar.

"Sayıların terslerini toplamak, sonsuza tırmanmaktır — ama merdivenin basamakları log uzaklıkla seyrekleşir."