Hermann Grassmann: 50 Yıl Önce Çağından Olan Lise Hocası

Stettin'in fizik hocası

Hermann Günther Grassmann 15 Nisan 1809'da Stettin'de (bugünkü Polonya, Szczecin) doğdu. Babası Justus Grassmann da matematik-fizik öğretmeniydi; oğul on iki kardeşten biri. Ailenin parası akademik kariyer için yetmiyordu; Hermann Berlin'de teoloji ve filoloji öğrenip 1832'de Stettin'e döndü, babasının okuluna fizik-matematik öğretmeni oldu.

Grassmann hiçbir zaman üniversite kürsüsünde olmadı. Tüm büyük matematik eserlerini lise öğretmenliği yaparken, akşamları, hafta sonları yazdı.

Ausdehnungslehre (1844)

35 yaşında, Grassmann'ın başyapıtı Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik — "Lineer Uzanma Öğretisi, Matematiğin Yeni Bir Dalı" — yayımlandı. 300 sayfa, ağır felsefi dil, koordinatsız geometrik düşünme.

Kitap şunları içeriyordu — çağından 50 yıl önce:

• n-boyutlu vektör uzayı kavramı (Cayley'den 14, Peano'dan 44 yıl önce).
• Lineer bağımsızlık ve baz.
• İç çarpım ve dış çarpım (cross product'tan değil; dış cebir).
• Determinant'ın koordinatsız, geometrik tanımı.
• Projeksiyon ve alt uzay kavramları.
• Bugün Grassmann cebiri dediğimiz yapı.

Bugün her mühendislik öğrencisinin ilk lineer cebir dersinde gördüğü her şeyin tohumu burada — ama Grassmann bunları öyle dile getirdi ki kimse okuyamadı. Filolojiden gelen tarzı, felsefi düzleştirme, somut örnek yokluğu... Kitap kelimenin tam anlamıyla rafta kaldı.

Hiç tepki yok

Grassmann kitabını dağıttı. Gauss bir teşekkür mektubu yazdı ama "okumaya zaman bulamadığını" söyledi. Möbius "anlamadığını" itiraf etti. Hamilton (kuaterniyonun mucidi) "rakip" gibi gördü ve sessiz kaldı. 600 kopya basıldı; çoğu satılmadı, yayıncı 1864'te kalanı imha etti.

Grassmann üniversite kürsüsü için defalarca başvurdu. Kummer, başvurusunu değerlendirirken "yararlı katkı yok" raporu verdi. Berlin onu reddetti. Hermann hayatı boyunca öğretmen kaldı.

İkinci deneme (1862)

18 yıl sonra Grassmann fikrini yeniden, daha sade dille yazdı: Die Ausdehnungslehre. Vollständig und in strenger Form bearbeitet (1862). Bu kez örneklerle, formüllerle, sembollerle.

Yine sessizlik. Matematik dünyası hâlâ hazır değildi.

Sanskritçe sığınağı

Grassmann iki kez reddedilen matematikçi olarak 1860'larda Sanskritçe ve karşılaştırmalı dilbilime döndü. Hint Rig Veda'sının ilk tam Almanca çevirisini yaptı (1876-1877). Sanskritçe sözlüğü (Wörterbuch zum Rig-Veda) bugün hâlâ standart bir referans. Dilbilim dünyasında ona fahri doktora veren ilk üniversite Tübingen oldu (1876) — matematiği için değil, Sanskritçe çalışması için.

Grassmann'ın dilbilime kazandırdığı Grassmann yasası (Hint-Avrupa dillerinde aspirasyon disimilasyonu) hâlâ ilk yıl dilbilim derslerinde okutulur.

Ölüm ve geç tanınma

Hermann Grassmann 26 Eylül 1877'de Stettin'de öldü. 68 yaşında. Matematik dünyası onun ne yaptığını henüz bilmiyordu.

İtalyan matematikçi Giuseppe Peano 1888'de Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann yayımladığında, Grassmann'ın 44 yıl önceki fikirlerini modern dile aktarmıştı. Élie Cartan dış cebiri ve diferansiyel formları doğrudan Grassmann'dan aldı (1899). William Kingdon Clifford Clifford cebrini Grassmann + Hamilton üzerine inşa etti (1878).

20. yüzyılda:

• Tensör analizi ve genel görelilik (1915) Grassmann'ın aletlerini kullandı.
• Kuantum mekaniği'nin formalizmi (Hilbert uzayları, lineer operatörler).
• Fermyonik alan teorisi: Grassmann sayıları (antikomütatif değişkenler) yol integralinin temel taşı.
• Bilgisayar grafiği ve fizik motorları: dış cebir nokta-çarpım-determinant-rotasyonun en ekonomik dilidir.

Grassmann sayılarının fiziksel önemi

Kuantum alan teorisinde fermyonların (elektron, kuark) yol integrali, antikomütatif sayılar üzerinde yapılır:

$\theta_i \theta_j = -\theta_j \theta_i, \quad \theta_i^2 = 0$

Bu Grassmann cebrinin birinci-derece elemanlarıdır. Pauli dışlama ilkesinin matematiksel kodlaması. Hermann'ın 1844'te lise dersleri arasında yazdığı şey, 130 yıl sonra Higgs bozonunun matematiksel betimlemesinin parçası oldu.

Ders

Grassmann'ın hikâyesi matematik tarihinin en acı ironilerinden biri:

• Doğru fikir, yanlış zaman, yanlış dil. Çağdaşları için kitabı erişilemez kaldı.
• Akademik dışlanma, dahi olmayı engellemez ama yaymayı yavaşlatır.
• Disiplin geçişleri: Sanskritçe çalışması ona ün kazandırdı; matematik kıymeti ölümünden sonra anlaşıldı.
• Pedagoji kritik: aynı içeriği Peano sade dilde yazdığında dünya 4 yılda anladı. Grassmann'ın felsefi dilini 50 yıl boyunca kimse açamadı.

Bugün her lise öğrencisi "vektörler toplanır, sayılarla çarpılır" derken Grassmann'ı tekrar eder — adını bilmeden.