Hilbert'in 23 Problemi: 1900'de Paris'te Çizilen Bir Yüzyıllık Matematik Yol Haritası

8 Ağustos 1900. Paris'te, İkinci Uluslararası Matematikçiler Kongresi toplanıyor. Sorbonne Üniversitesi'nin büyük salonunda, dünyanın matematik elitleri bir arada. Genç sayılabilecek bir profesör kürsüye çıkar — 38 yaşındaki David Hilbert (1862–1943), Göttingen Üniversitesi'nin parlak yıldızı. Konuşmasının başlığı sade ama iddialı: "Matematiksel Problemler".

Hilbert, konuşmasında "bilim, ancak problemleri olduğu sürece yaşar; problemlerin yokluğu bilimin ölümüdür" dedi. Ardından, gelecek yüzyıl matematiğinin yönünü belirleyeceğine inandığı 23 problemi sıraladı. O an, kimsenin tahmin etmediği bir şey oldu: bu liste, sonraki 100 yıl matematik tarihinin gerçekten yol haritası olacaktı.

Bugün, 125 yıldan sonra geriye baktığımızda: bazı problemler çözüldü ve büyük teoremlere dönüştü; bazıları yaratıcı bir biçimde çürütüldü; bazıları hâlâ açık ve milyon dolarlık ödüller taşıyor.

Hilbert kimdi?

David Hilbert, 1862'de Königsberg'de (bugünkü Kaliningrad, Rusya) doğdu. Önce o şehrin üniversitesinde okudu, sonra Göttingen'e profesör olarak atandı (1895) ve hayatının kalan 48 yılını orada geçirdi. Göttingen, onun yönetimi altında dünyanın matematik başkenti hâline geldi.

Hilbert'in kendi matematik katkıları zaten muazzamdır: değişmezler teorisi, sayılar teorisi, geometri aksiyomları (modern Öklid geometrisinin aksiyomatik temelini o yazdı), fonksiyonel analiz (Hilbert uzayları), genel görelilik denklemlerinin değişken hesabı formulasyonu... Ama belki de en uzun süreli etkisi, 1900'deki bu konuşma oldu.

Listenin kendisi (özet)

Hilbert'in 23 problemini bütününde anlatmak kitap dolduracak iş. Burada özetleyelim:

No	Konu	Bugünkü durumu
1	Süreklilik hipotezi (Cantor)	Bağımsız: çözülemez (Gödel-Cohen)
2	Aritmetiğin tutarlılığı	"Çürütüldü" (Gödel eksiklik teoremleri)
3	Eşit hacimli çokyüzlülerin parçalanması	Çözüldü (Dehn, 1900) — hayır
4	Düz hatlarla geometriler	Çözüldü, kısmen
5	Lie grupları (sürekli grup teorisi)	Çözüldü (Gleason, Montgomery-Zippin)
6	Fiziğin aksiyomlaştırılması	Hâlâ açık (kısmen ilerleme)
7	$2^{\sqrt{2}}$ aşkın mı?	Çözüldü (Gelfond-Schneider, 1934)
8	Riemann hipotezi & Goldbach varsayımı	Hâlâ açık
9	En genel relatiflik yasası	Çözüldü
10	Diofant denklemlerinin algoritmik çözümü	Çürütüldü (Matiyasevich, 1970)
11	Cebirsel sayı cisimlerinde kuadratik formlar	Çözüldü
12	Sınıf cisim teorisinin genelleştirilmesi	Kısmen
13	7. derece denklemler için iki değişkenli fonksiyonlar	Çözüldü, kısmen
14	Sınırlı üreteçli fonksiyon halkaları	Çürütüldü (Nagata, 1958)
15	Schubert hesabının titiz temeli	Çözüldü
16	Polinom diferansiyel denklem topolojileri	Hâlâ açık
17	Pozitif rasyonel fonksiyonların kareler toplamı	Çözüldü (Artin, 1927)
18	Düzlemi düzgün biçimlerle döşeme	Çözüldü
19	Varyasyonlar hesabı çözümlerinin analitikliği	Çözüldü
20	Genel sınır değer problemleri	Çözüldü
21	Monodromi gruplu lineer diferansiyel denklemler	Çözüldü, kısmen tartışmalı
22	Otomorfik fonksiyonlarla uniformlaştırma	Çözüldü
23	Varyasyonlar hesabını geliştirmek	Devam ediyor (genel bir hedef)

Bu tablo aşırı sade; her bir problem üzerinde yığınla kitap yazılmıştır. Birkaç dönüm noktasına yakından bakalım.

Birinci problem: Süreklilik hipotezi

Hilbert'in en üst sıraya koyduğu problem, süreklilik hipoteziydi. Soru: doğal sayıların sonsuzluğu ile gerçek sayıların sonsuzluğu arasında bir başka "ara sonsuzluk" var mıdır? Yani $\aleph_0$ ile $2^{\aleph_0}$ arasında bir kardinalite var mıdır?

Cantor, "yoktur" diye varsayıyordu (süreklilik hipotezi). Hilbert bunun matematiksel olarak ispatlanmasını ya da çürütülmesini istedi.

Cevap, 20. yüzyılın en şaşırtıcı sonuçlarından biri oldu:

• Kurt Gödel (1940): Süreklilik hipotezi, ZFC küme aksiyomları ile çelişmez. Yani doğru kabul edilirse hiçbir çelişki çıkmaz.
• Paul Cohen (1963): Süreklilik hipotezinin olumsuzu da ZFC ile çelişmez. Yani yanlış kabul edilirse de hiçbir çelişki çıkmaz.

Sonuç: süreklilik hipotezi bağımsızdır. Yani ZFC'de ne ispatlanır ne çürütülür. Bu, matematik felsefesi için derin bir mesajdı; matematikte "doğru ya da yanlış olduğu sorulamayan" sorular olduğunu gösterdi.

İkinci problem: Aritmetiğin tutarlılığı

Hilbert, matematikteki çelişkisizlik sorununu kesinleştirmek istedi. Aritmetiğin (ve onun üzerine kurulu tüm matematiğin) kendi içinde tutarlı olduğunu, sadece sonlu adımda doğrulanabilen bir argümanla göstermek isteyen büyük bir programa ("Hilbert programı") başladı.

Ne var ki Kurt Gödel 1931'de bu programı temellerinden sarsan iki eksiklik teoremini yayımladı. Birincisi: yeterince güçlü herhangi bir formal sistem, kendi içinde ne doğrulanabilir ne çürütülebilir önermeler içerir. İkincisi: böyle bir sistem, kendi çelişkisizliğini sistem içinde kanıtlayamaz.

Bu, Hilbert'in 2. problemine olumsuz bir cevap veriyordu. Hilbert şahsen Gödel'in sonuçlarından çok rahatsız oldu; ölümüne kadar bu konuda ısrarcı bir savunma yaptı.

Sekizinci problem: Riemann hipotezi

Hilbert'in listesindeki en ünlü açık problem Riemann hipotezidir. Riemann zeta fonksiyonu $\zeta(s)$'nın bütün "ihmal edilemez" sıfırlarının kompleks düzlemde reel kısmı $\tfrac{1}{2}$ olan bir dik doğru üzerinde olması iddiası.

Hilbert 1900'de bu probleme "asal sayıların dağılımının matematiksel kalbinde duran" diye atıfta bulundu. 2000 yılında Clay Matematik Enstitüsü, bu problemi Milenyum Ödüllerine dahil etti: çözümüne 1 milyon dolar.

Bugün, 125 yıl sonra, hâlâ kanıtlanmadı. Pek çok matematikçi onun doğru olduğuna inanıyor; sayısal kanıtlar ilk milyarlarca sıfırı kontrol etti, hepsi doğru çıktı. Ama tam ispat yok.

Hilbert bir keresinde "500 yıl sonra uyandırılırsanız ilk soruğunuz ne olur?" diye sorulduğunda "Riemann hipotezi ispatlandı mı?" diye cevap vermişti.

Onuncu problem: Diofant denklemlerinin algoritması

10. problem, somut bir algoritma sorusudur: "$ax^2 + by^3 + cz = d$" tipindeki Diofant denklemleri için, tam sayı çözümünün olup olmadığını belirleyen bir algoritma var mı?

Hilbert'in bu sorudaki örtük varsayımı "evet, vardır, sadece bulmak gerek" idi. Ama 1970'te Rus matematikçi Yuri Matiyasevich, önceki çalışmaları (Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson) tamamlayarak şu sonucu kanıtladı:

Böyle bir algoritma yoktur.

Bu, "negatif çözüm" olarak bilinen önemli bir matematik tarih anıdır. Cevap "yapılabilir mi?" değil "yapılamaz" oldu — ve bu yokluğu kanıtlamak başlıbaşına büyük bir başarı.

Diğerleri kısaca

• 3. problem (eşit hacimli çokyüzlüler): Aynı yıl (1900) Hilbert'in öğrencisi Max Dehn tarafından çözüldü; cevap "hayır": üç boyutta her zaman parçalama mümkün değildir (Dehn değişmezi). En hızlı çözülen problem.
• 6. problem (fiziğin aksiyomlaştırılması): Hâlâ açık ve büyük ölçüde tanımlama meselesi. Termodinamik ve olasılığın aksiyomlaştırılması yapıldı (Kolmogorov 1933); ama "tüm fiziğin aksiyomlaştırılması" tartışmalı bir hedef.
• 7. problem ($2^{\sqrt{2}}$ aşkın mıdır?): 1934'te Aleksandr Gelfond ve Theodor Schneider bağımsız olarak ispatladılar: evet, aşkındır. Daha geneli Gelfond-Schneider teoremi olarak bilinir.

Hilbert programının mirası

Hilbert'in 23 problemi sadece konu listesi değildir; aynı zamanda matematik felsefesinin sürdürülmesi gereken bir programdır: matematik kesin, biçimsel, eksiksiz, tutarlı, mekanikten ayrı bir bilim olmalıdır.

Gödel'in eksiklik teoremleri, bu programın felsefi olarak imkânsız olduğunu gösterdi. Yine de Hilbert'in özlemi, 20. yüzyıl boyunca matematik araştırmasının yönünü belirledi. Modern formal mantığın, bilgisayar biliminin (özellikle Turing makinelerinin), kategori teorisinin, kanıt teorisinin doğuşu — hepsi Hilbert programının dolaylı sonuçlarıdır.

Bugünkü hâli

23 problemden bugün:

• 10 tanesi açıkça çözüldü.
• 5 tanesi olumsuz cevaplandı (çürütüldü).
• 5 tanesi kısmen çözüldü.
• 3 tanesi hâlâ açık ya da kesin olmayan formdadır.

Açık olanlar arasında en ünlü olanı, kuşkusuz Riemann hipotezidir.

2000 yılında Clay Matematik Enstitüsü, Yedi Milenyum Problemini ilan etti — modern dilde Hilbert'in 23 probleminin torunu. Bunlardan biri (Poincaré sanısı) sonradan Grigori Perelman tarafından çözüldü; diğer altısı hâlâ açık. Riemann hipotezi her iki listede de yer alır.

Bir hayat dersi

Hilbert'in 1900 konuşması, doğru sorunun cevaptan önemli olduğunu gösteren bir matematik tarih anıdır. Hilbert, "şu kadar problem çözdüm" demek yerine "şu kadar problem sordum" diye anılır. Onun cesaretiyle ortaya koyduğu sorular, sonraki yüzyılda yüzlerce matematikçinin kariyerini, binlerce makalenin konusunu, bir bilim dalının yön bulmasını şekillendirdi.

Bir hayat dersi olarak: bir bilim ya da pratiği "soru sorma" kapasitesi belirler. Hilbert bunu sözcüğüyle yaşadı: "Wir müssen wissen — wir werden wissen." (Bilmeliyiz — bileceğiz.) Bu söz, onun mezar taşında yazılı bugün hâlâ Göttingen'de durur. Ve modern matematik, hâlâ onun açtığı kapılardan ilerlemeyi sürdürüyor.