Hilbert'in 23 Problemi: Bir Matematikçinin Tüm Bir Yüzyıla Verdiği Ödev

Yüzyılın Eşiğinde Bir Konuşma

1900 yılı. İnsanlık yeni bir yüzyıla giriyor. Paris'te düzenlenen Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde, dönemin en saygın matematikçilerinden David Hilbert kürsüye çıkar ve tarihî bir konuşma yapar.

Hilbert, geçmiş başarıları sıralamak yerine, geleceğe bakar. "Hangi problemler önümüzdeki yüzyılda matematiği ileriye taşıyacak?" diye sorar ve kendi cevabını verir: çözülmeyi bekleyen, dikkatle seçilmiş bir problemler listesi. Bu liste sonradan 23 probleme ulaştı ve tarihe "Hilbert'in Problemleri" olarak geçti.

Hilbert'in o konuşmadaki ünlü inancı, matematiğe duyduğu iyimserliği özetler: "Bilmeliyiz, bileceğiz" (Wir müssen wissen, wir werden wissen). Ona göre, iyi tanımlanmış her matematik problemi eninde sonunda çözülebilirdi.

Bir Listenin Gücü

Hilbert'in yaptığı şey neden bu kadar etkili oldu? Çünkü doğru soruları sormanın, cevap vermek kadar değerli olduğunu biliyordu. İyi seçilmiş bir problem, nesiller boyu matematikçilere bir hedef, bir yön verir. Hilbert'in listesi, 20. yüzyıl matematiğinin adeta bir yol haritası oldu. Bir problemi çözmek (ya da çözülemez olduğunu kanıtlamak), bir matematikçi için en büyük onurlardan biri hâline geldi.

Liste, sayılar teorisinden geometriye, mantıktan fiziğe kadar matematiğin her alanına dokunuyordu. Kimisi çok somut, kimisi son derece genel ve felsefiydi.

Listeden Tanıdık Yüzler

Hilbert'in problemlerinden bazıları, bu blogda daha önce tanıştığımız konularla doğrudan bağlantılıdır:

• Birinci Problem (Süreklilik Hipotezi): Daha önce Cantor'un sonsuzluklarında gördüğümüz gibi, sayılabilir sonsuzluk ile reel sayıların sonsuzluğu arasında "ara bir sonsuzluk" var mı? Bu sorunun cevabı şaşırtıcı çıktı: Gödel ve Cohen'in çalışmalarıyla, bu sorunun mevcut matematik aksiyomlarıyla ne kanıtlanabileceği ne de çürütülebileceği gösterildi! (Gödel'in eksiklik fikrinin canlı bir örneği.)

• İkinci Problem: Matematiğin aksiyomlarının çelişkisiz (tutarlı) olduğunu kanıtlamak. Bu, Hilbert'in büyük hayaliydi — ama daha önce gördüğümüz gibi, Gödel'in Eksiklik Teoremleri bu hayalin tam olarak gerçekleştirilemeyeceğini gösterdi.

• Sekizinci Problem: Tam da Riemann Hipotezi! Hilbert bunu listesine aldı ve bir keresinde, "bin yıl sonra uyandırılsaydı ilk soracağı şeyin Riemann Hipotezi'nin çözülüp çözülmediği olacağını" söylediği aktarılır. Görüldüğü gibi, bu problem hâlâ açık.

Ne Oldu Bu Problemlere?

Aradan 120 yılı aşkın süre geçti. Problemlerin akıbeti, matematiğin nasıl ilerlediğinin güzel bir özetidir:

• Çoğu çözüldü: Problemlerin büyük kısmı, 20. yüzyıl boyunca tam ya da kısmen çözüldü. Her çözüm, matematikte yeni alanların doğmasına yol açtı.
• Bazıları "çözülemez" çıktı: Birinci ve ikinci problemde olduğu gibi, bazı sorular için cevap "bu, mevcut araçlarla karara bağlanamaz" oldu — ki bu da derin bir cevaptır.
• Bazıları hâlâ açık: En ünlüsü, sekizinci problem olan Riemann Hipotezi, bir asrı aşkın süredir hâlâ çözülmeyi bekliyor.
• Bazıları "çok belirsiz": Birkaç problem, kesin bir "çözüldü/çözülmedi" yargısı vermek için fazla genel veya yoruma açıktı.

Bir Mirasın Devamı: Milenyum Problemleri

Hilbert'in 1900'deki bu vizyoner hamlesi o kadar etkili oldu ki, tam 100 yıl sonra, 2000 yılında, Clay Matematik Enstitüsü onu örnek alarak kendi listesini yayımladı: daha önce bahsettiğimiz, her biri bir milyon dolar ödüllü yedi Milenyum Problemi. İlginç bir biçimde, Riemann Hipotezi her iki listede de yer alır — hem Hilbert'in hem Clay'in listesinde. Bir yüzyılı aşkın süredir matematiğin zirvesinde duran bir soru.

Niçin Önemli?

• Doğru soru sormanın değeri: Hilbert, bize bilimde "iyi bir soru sormanın", çoğu zaman cevap vermek kadar — bazen daha da — değerli olduğunu gösterdi.
• Matematiğe yön vermek: Listesi, dağınık bir alanı ortak hedeflerin etrafında topladı ve bütün bir yüzyılın enerjisini odakladı.
• Sınırların keşfi: Bazı problemlerin "çözülemez" çıkması, matematiğin kendi sınırlarını (Gödel'in gösterdiği gibi) anlamasına yardımcı oldu.

Sonuç

David Hilbert, 1900'de kürsüye çıkıp geleceğe 23 soru bıraktığında, aslında bütün bir yüzyıla ödev veriyordu. Bu liste, modern matematiğin gelişimini şekillendirdi; sayısız kariyeri yönlendirdi, yeni alanlar doğurdu ve hatta matematiğin sınırlarını ortaya koydu.

Hilbert'in "bileceğiz" iyimserliği, Gödel tarafından bir miktar yumuşatılmış olsa da, ruhu hâlâ yaşıyor: Bilim, cevaplardan çok, doğru sorular sayesinde ilerler. Ve bazen, tek bir iyi soru, bütün bir çağı harekete geçirmeye yeter.