Hilbert’in Altıncı Problemi: Tüm Fiziği Matematiğe Çevirmek Mümkün mü?

Bir Listenin Gücü

$1900$ yılında, Paris'teki bir matematik kongresinde, dönemin en etkili matematikçilerinden David Hilbert sahneye çıktı ve geleceğe damga vuracak bir konuşma yaptı. Matematiğin önündeki en önemli açık problemlerden bir listesini sundu — sonradan $23$ Hilbert Problemi olarak ünlenecek bir yol haritası. Bu liste, $20.$ yüzyıl matematiğinin gündemini gerçekten belirledi; her biri üzerinde nesiller boyu çalışıldı, kimi çözüldü, kimi hâlâ açık.

Çoğu problem belirli ve teknikti: bir denklemi çöz, bir sayının doğasını belirle, bir varsayımı kanıtla. Ama altıncı problem diğerlerinden tuhaf biçimde ayrılıyordu. O bir matematik problemi bile değildi tam olarak; daha çok bir program, bir hayaldi.

Altıncı Problemin İsteği: Fiziği Aksiyomlaştırmak

Hilbert'in altıncı problemi şunu istiyordu: Fiziği, tıpkı geometri gibi, sağlam mantıksal temeller (aksiyomlar) üzerine kurmak.

Bunu anlamak için geometriye bakalım. Öklid, $2000$ yıldan fazla önce geometriyi birkaç temel aksiyoma ("iki nokta bir doğru belirler" gibi apaçık kabuller) indirgemiş ve geri kalan her şeyi bunlardan mantıkla türetmişti. Hilbert'in kendisi de geometrinin temellerini modern bir titizlikle yeniden kurmuştu. Sorusu şuydu: Aynı şeyi fizik için de yapabilir miyiz? Yani mekaniği, olasılığı, termodinamiği — sonunda tüm fiziksel kuramları — birkaç açık aksiyomdan başlayıp, matematiksel kesinlikle inşa edebilir miyiz?

Bu sıradan bir istek değildi. Fizik, deneylere ve sezgiye dayanan dağınık bir yapıdır; onu kusursuz bir mantık binasına dönüştürmek, matematikle gerçekliği aynı zemine oturtmak demekti.

Neden Bu Kadar Zor?

Altıncı problem, diğer Hilbert problemlerinin çoğundan farklı olarak "evet, çözüldü" diye kesin işaretlenebilecek bir problem değildir. Çünkü hedefi devasa ve kısmen belirsizdir: "tüm fizik" sürekli değişen, genişleyen bir alandır. Yine de, parçaları üzerinde olağanüstü ilerlemeler kaydedildi.

Özellikle bir alt hedef merkezdeydi: istatistiksel mekaniği temellendirmek. Yani şu köprüyü kurmak — bir yanda atomların tek tek hareketini yöneten mikroskobik yasalar (örneğin parçacıkların çarpışması), öbür yanda gözlemlediğimiz makroskobik yasalar (örneğin gazların akışını anlatan denklemler). Bu ikisini matematiksel olarak birbirine kesin biçimde bağlamak — milyarlarca parçacığın kaotik hareketinden, düzgün akışkan denklemlerinin nasıl doğduğunu titizce kanıtlamak — onlarca yıl matematikçileri uğraştırdı. Yakın dönemde bu yönde, mikroskobik parçacık modellerinden akışkan denklemlerine geçişi titizlikle kuran önemli ilerlemeler duyuruldu; bunlar altıncı problemin ruhuna büyük katkılar olarak karşılandı.

Saf Matematik İçin Bir Hediye

İlginç olan şu: altıncı problemin asıl mirası, fizikten çok matematiğin kendisine oldu. Fiziği titizleştirme çabası, modern matematiğin koca dallarını besledi: ölçü kuramına dayalı olasılık (Kolmogorov'un aksiyomları doğrudan bu ruhtan beslenir), kısmi diferansiyel denklemler kuramı, dinamik sistemler ve daha fazlası. Yani Hilbert, "fiziği matematikleştirin" derken, aslında matematiğin yeni güçlü araçlar geliştirmesini kışkırtmış oldu.

Hayal Hâlâ Yaşıyor

Altıncı problem, bir bakıma asla "bitmez" — çünkü fizik ilerledikçe, onu sağlam temellere oturtma görevi de genişler. Kuantum kuramının, hatta kuantum alan kuramının matematiksel temelleri bugün hâlâ tam anlamıyla aksiyomatik bir titizliğe kavuşmuş değildir ve bu, çağdaş matematiksel fiziğin en derin uğraşlarından biridir.

Hilbert'in altıncı problemi, bir sorudan çok bir tutkunun ifadesidir: gerçekliğin matematiğin diliyle, kusursuz bir mantıkla anlatılabileceğine duyulan inanç. Tam olarak "çözülmese" de, bu hayal yüzyıl boyunca matematikçileri ileri itti ve bugün hâlâ, evreni anlama çabamızın altında sessizce çalışıyor. Bazen en değerli problem, kesin bir cevabı olmayan ama bizi durmadan ilerleten problemdir.