İkiz Asal Sanısı: (3,5), (5,7), (11,13), ... Sonsuza Kadar Sürer mi?

Soru 12 yaşında bir çocuğa anlatılır

Asal sayıları sıralayın: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, \ldots$

Fark 1 olabilen tek asal çift: $(2, 3)$. Çünkü 2'den sonraki her asal tek; tek sayılar arasında fark en az 2.

Fark 2 olan asal çiftler: ikiz asallar.

$(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), \ldots$

Soru: Bu çiftler sonsuza kadar gider mi?

Bilinen en büyük ikiz asal çiftleri çok büyük — 2026 itibariyle 388.342 basamaklı çift bulunmuş. Ama "sonsuz çok var mı?" sorusunun cevabı bilinmiyor.

Bu, ikiz asal sanısı: bilinen en eski açık sayı teorisi problemlerinden.

Tarihçe

İlk yazılı kayıt Antik Yunan: Öklid asal sayıların sonsuz olduğunu kanıtladı (MÖ 300 civarı). İkiz olarak ayırma sanısı modern matematikten gelir — net bir "ilk söyleyen" yok. Alphonse de Polignac 1849'da genel formunu (her çift sayı için "fark $k$ olan asal çifti" sonsuzluğu) söyledi.

Asal yoğunluğu

Asal sayı teoremi (1896, Hadamard ve de la Vallée Poussin): $n$'e kadar asalların sayısı yaklaşık $n/\ln n$. Yani asallar büyüdükçe seyrekleşir.

İkiz asal yoğunluğu için tahmin Hardy-Littlewood sanısı (1923):

$\pi_2(n) \sim 2 C_2 \frac{n}{(\ln n)^2}$

Burada $C_2 \approx 0.6601618...$ — ikiz asal sabiti (Hardy-Littlewood sabiti). Yani ikiz asal sayısı $n/(\ln n)^2$ ile sınırlı, ama sonsuza gider (sanıya göre).

Nümerik testler bu tahminle inanılmaz uyumludur — ikiz asal sanısını destekler ama kanıt değil.

Brun teoremi (1919) ve Brun sabiti

Norveçli Viggo Brun 1919'da olağanüstü bir teorem kanıtladı:

$\sum_{(p, p+2) \text{ ikiz asal}} \left(\frac{1}{p} + \frac{1}{p+2}\right) = B \approx 1.902160583...$

Bu Brun sabiti. Sonlu! Yani ikiz asalların terslerinin toplamı yakınsar.

Bu sonuç şaşırtıcı: tüm asalların terslerinin toplamı ıraksar ($\sum 1/p = \infty$, Euler), ama ikiz asallarınki ıraksamaz. İkiz asallar "az" demektir.

Ama Brun teoremi ikiz asalların sonsuz olduğunu kanıtlamadı — sadece sonsuzsa bile toplamlarının sonlu kaldığını.

Zhang Yitang'in 2013 sıçraması

2013 Nisanı'nda, bilinmeyen Çinli matematikçi Zhang Yitang — New Hampshire Üniversitesi'nde geçici öğretim üyesi, hayatının çoğunu Subway sandviççi olarak çalışarak geçirmiş — büyük bir adım attı.

Teorem (Zhang 2013): Aralarındaki fark 70 milyondan küçük olan sonsuz sayıda asal çift vardır.

Bu "70 milyon" tabii ki "2"den uzak ama sonsuz sayıda küçük-aralıklı asal çift olduğunu kanıtlayan ilk sonuç. Asal sayı dağılımı tarihindeki en büyük atılımlardan.

Kanıtı: GPY sieve (Goldston-Pintz-Yıldırım, 2005) yöntemini ustaca rafine etti. Zhang yıllarca tek başına çalışmıştı; sonucu sadece bir akşam üzeri yayımlamayı düşündü.

Polymath8 ve Maynard-Tao (2013-2014)

Zhang'ın 70 milyonu çok hızlı azaldı:

• Polymath8 projesi (Terence Tao liderliğinde, internet işbirliği): 70 milyon → 4,680 (Mayıs 2013).
• James Maynard (Oxford'da bağımsız): yepyeni yöntem, sınır 600 (Kasım 2013).
• Polymath8b (Maynard yöntemi + iyileştirme): sınır 246 (Nisan 2014).

Maynard yöntemi GPY'den daha sade ve etkili. Aynı zamanda k-tuple sanısının kısmi formunu kanıtladı.

Mevcut en iyi sınır: 246. Yani fark $\leq 246$ olan asal çiftleri sonsuz çok. "$2$"ya ulaşmak için hâlâ uzun bir yol.

İkiz asal sanısı — neden bu kadar zor?

Asal sayı dağılımının derin yapısı hâlâ tam anlaşılmadı. Riemann hipotezi çok daha iyi olsa bile ikiz asal sanısını doğrudan vermez.

İkiz asalların var olması için "yerel" (ardışık) bir koşul gerekir, ama asallar dağılımı doğası gereği küresel (logaritmaya bağlı). Bu çelişki, sanıyı çok zor yapar.

Daha küçük çiftlikler

Dikkat: "fark 2" çok özel. Diğer farkları olan asal çiftler:

• Fark 4: kuzen asallar (cousin primes) — $(3,7), (7,11), (13,17), \ldots$
• Fark 6: seksen asallar (sexy primes) — $(5,11), (7,13), (11,17), \ldots$
• Fark $k$ olan asal çiftler — her çift $k$ için de aynı sanı (Polignac, 1849) — hepsi açık.

Maynard ve Polymath8b sonuçları, $k=2$ için 246'ya, ama $k=4, 6, ...$ için de sonsuz sayıda çift olduğunu da gösterir.

Pratik anlam

İkiz asallar kriptografide doğrudan değil ama dolaylı rol oynar:

• RSA anahtarları seçilirken "asal yoğunluğu" hesaplaması yapılır.
• ECDSA eliptik eğri seçimi.
• Sözde-rastgele sayı üretimi (Goldwasser-Micali).

Ayrıca eğitsel önemi büyük: lise düzeyinde açıklanabilen ama henüz çözülmemiş bir problem — matematiğe ilgi uyandırır.

Sonuç

İkiz asal sanısı, matematiğin tevazu öğretmenlerinden biri:

• 2000 yıldır söylenir, kanıtlanmaz.
• 12 yaşında bir çocuk soruyu anlar.
• 70+ yaşında bir matematikçi adım atar.
• Hâlâ açık.

Matematikteki en eski ve en güzel sorulardan biri. Her yeni kanıt teknik, ikiz asal sanısına bir adım daha yaklaşır — ama tam ulaşma henüz yok.

Belki Zhang'in sandviç tezgâhının arkasındaki bir genç matematikçi, gelecekteki Zhang'dır.