Karl Weierstrass: Modern Analizin Titiz Babası

Lise öğretmeni olarak doğmamış dahi

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass 1815'te Almanya'nın Ostenfelde köyünde, bir gümrük memurunun oğlu olarak doğdu. Babası onun hukuk ve maliye okumasını istedi. Bonn Üniversitesi'nde 4 yıl içkili, kavgalı bir öğrencilik geçirdi — döneminin sıradan bir asilzade öğrencisi.

Diploma alamadan eve döndü. Babası şok geçirdi. Karl ne yapacağını bilmiyordu. Sonunda lise öğretmenliği programına girdi (1839); 1841'de mezun oldu ve önce Westkreuz, sonra Deutsch-Krone ve Braunsberg'de lise öğretmeni olarak çalışmaya başladı.

Yıllar boyunca matematik, fizik, beden eğitimi, kaligrafi ve botanik öğretti — küçük taşra okullarında 15 yıl. Maaş düşüktü, kütüphane yoktu, meslektaş yoktu. Gündüz ders, gece uykusunu da kaybederek kendi başına matematik araştırmaları.

"Sıradan bir lise öğretmeni" değildi

1854'te Crelle Dergisi'nde (dönemin en saygın matematik dergisi) bir makale yayımladı: "Zur Theorie der Abelschen Functionen" (Abel Fonksiyonları Üzerine). Bu makale matematik dünyasını şok etti. Hiç kimsenin tanımadığı bir lise öğretmeni, en zorlu modern matematik problemine olağanüstü derin bir katkı yapmıştı.

Königsberg Üniversitesi ona fahri doktora verdi. Münster Üniversitesi profesörlük teklif etti, kabul etmedi. 1856'da Berlin Üniversitesi'nden yardımcı profesörlük teklifi geldi — bunu kabul etti. 41 yaşında.

Berlin'de modern analizin doğuşu

Weierstrass Berlin'e gittiğinde kalkülüs hâlâ Newton ve Leibniz'in 200 yıl önceki belirsiz "sonsuz küçükler" sezgisi üzerine kurulu, yarı-felsefi bir konuydu. Türevler "neredeyse sıfır" niceliklerle ifade ediliyor, integraller geometrik sezgilerle gerekçelendiriliyordu. Matematikçiler kalkülüsün "çalıştığını" biliyor ama niçin çalıştığını kesin olarak söyleyemiyorlardı.

Weierstrass bunu çözdü. Derslerinde sistematik biçimde epsilon-delta ($\epsilon$-$\delta$) yöntemini kullandı:

"$f$ fonksiyonunun $a$'da limiti $L$'dir" demek, "her $\epsilon > 0$ için bir $\delta > 0$ vardır öyle ki $|x - a| < \delta$ olduğunda $|f(x) - L| < \epsilon$."

Bu tanım o kadar titizdir ki tüm sezgisel "yaklaşır" lafları kesin nicel ifadelerle değişir. Bugün her analiz öğrencisi ilk derslerden birinde bu tanımı görür. Modern analiz, Weierstrass'ın bu titizliği üzerine kuruludur.

Bolzano daha 1817'de benzer fikirleri yazmıştı (önceki yazımıza bakın), ama el yazmaları gizli kaldı. Cauchy 1820'lerde bazı yönlerini formalize etti ama sezgi kalıntıları taşıyordu. Weierstrass tamamen titiz hale getirdi.

"Hiçbir yerde türevlenemeyen sürekli fonksiyon"

Weierstrass'ın en şaşırtıcı keşfi: her noktada sürekli ama hiçbir noktada türevlenebilir olmayan bir fonksiyon inşa etti. Önceden matematikçiler "süreklilik" ile "türevlenebilirlik" arasında doğal bir bağ olduğunu sezerlerdi. Weierstrass bu sezgiyi kırdı.

Fonksiyonu:

$W(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n \cos(b^n \pi x)$

belirli koşullarda ($0 < a < 1$, $b$ tek tamsayı, $ab > 1 + 3\pi/2$) her yerde sürekli ama hiç bir yerde türevlenemez. Bu, patolojik fonksiyonların matematiğe girmesinin başlangıcıydı — daha sonra fraktallar, Cantor kümesi, Brownian hareket gibi yapılara açılan kapı.

1872'de yayımlanan bu fonksiyon büyük tartışma yarattı. Henri Poincaré "akıl sağlığına saldırı" dedi. Ama gerçekten doğru bir matematiksel nesnedir.

Pedagojik miras

Weierstrass öğretimde devrim yaptı. Berlin'deki dersleri tıka basa dolardı; Sofya Kovalevskaya, Hermann Schwarz, Mittag-Leffler, Frobenius, Killing, Hilbert'in öğretmeni Lindemann ve onlarca büyük matematikçi onun öğrencisiydi.

Sofya Kovalevskaya kadın olduğu için resmi olarak Berlin Üniversitesi'ne kabul edilmemişti; Weierstrass ona özel dersler verdi, ödevlerini okudu, doktora tezini destekledi. Kadınların matematikte ilerlemesi için çağının ötesinde bir destekçiydi.

Weierstrass çağdaşları için inanılmaz özenli bir öğretmen ve insandı. Makalelerini yayımlamada acele etmezdi; her kanıtı tekrar tekrar düzeltir, en titiz formunu bulurdu. Bu yüzden yayımlanmış eserlerinin çoğu çok azdır; mirası derslerinde ve öğrencilerinde kaldı.

"Weierstrass çağı"

19. yüzyılın son çeyreğinde Berlin matematik dünyasının başkenti haline geldi — büyük ölçüde Weierstrass sayesinde. Weierstrass çağı (1860'lar-1890'lar) modern analizin doğum dönemi olarak anılır. Bu dönemden çıkan kavramlar:

• Bolzano-Weierstrass teoremi (sınırlı dizilerin yakınsak alt dizileri)
• Weierstrass M-test (fonksiyon serilerinin düzgün yakınsaması)
• Stone-Weierstrass teoremi (yaklaşım teorisi, sonradan Stone tarafından genelleştirildi)
• Weierstrass çarpan teoremi (kompleks fonksiyonların çarpım gösterimi)
• Weierstrass $\wp$ fonksiyonu (elipsel fonksiyonlar teorisi)

Her biri kendi başına ders kitabı bölümü.

Sade hayat, dev miras

Weierstrass evlenmedi, çocuğu olmadı, akademik dünya dışında pek az tanınmadı. Hayatı boyunca lüks içinde yaşamadı; meslektaşlarına ve öğrencilerine adanmış sade bir akademisyendi. Sonraki yıllarında sağlığı zayıfladı; derslerini tahta başında ayakta veremediğinde oturarak öğrencilere not ettirdi.

1897'de Berlin'de öldü. Cenazesinde Hilbert, Frobenius, Schwarz gibi öğrencileri ve meslektaşları vardı.

"Matematik öğretmeyi öğreten kişi"

Weierstrass'ın hikâyesi, klasik akademik kariyer yolundan çıkıp geç çağda matematiğin merkezine yerleşmenin sıra dışı bir örneğidir. Onun katkısı sadece teoremlerle değil, matematik nasıl yapılır? sorusuna verdiği titiz cevap ile ölçülür. Modern analiz bugün de onun standartlarına göre öğretiliyor: kesinlik, açıklık, kanıt.

Bira fıçılarının arasında matematik çözen lise öğretmeninin sessiz devrimi, bugünkü matematik öğretiminin alfabesini yazdı.