Kelly Criterion: Bahiste ve Yatırımda Optimal Pay

"Avantajım var, ne kadar yatırayım?"

Hayal edin: madeni para atılıyor, ama yazı/tura simetrik değil. Yazının olasılığı $p = 0.6$, turanın $q = 0.4$. Yazıya gelirse iki katı kazanıyorsunuz, turaya gelirse parayı kaybediyorsunuz.

Sezgisel ilk soru: Sermayemin ne kadarını her seferinde yatırmalıyım?

Üç farklı kötü cevap var:

• %100 yatır: Bir kez kaybedersin, oyun biter. Çıkış 0.
• Çok küçük yatır: Güvenli ama büyüme yavaş; avantajını kullanmıyorsun.
• "Beklenen değer maksimum" yatır: Tek dönemde matematik bunu önerir, ama uzun vadede iflasa götürür.

1956'da John Larry Kelly Jr. (Bell Labs mühendisi, Claude Shannon'un meslektaşı) bilgi teorisi üzerinde çalışırken bu probleme çözüm üretti. Çözüm bugün Kelly Criterion olarak bilinir.

Formül

Avantajlı bir bahiste, sermayenizin Kelly oranı kadarını yatırın:

$f^* = \frac{bp - q}{b}$

• $b$: kazanırsanız oran (1 birim yatırırsanız $b$ birim kâr)
• $p$: kazanma olasılığı
• $q = 1 - p$: kaybetme olasılığı

Daha basit bir formla yazılırsa:

$f^* = \text{kazanma olasılığı} - \frac{\text{kaybetme olasılığı}}{\text{oran}}$

Yukarıdaki örnekte $p=0.6,\ q=0.4,\ b=1$ (eşit oran):

$f^* = \frac{1 \cdot 0.6 - 0.4}{1} = 0.2$

Yani sermayenizin %20'sini her dönemde yatırmalısınız.

Niye logaritma?

Kelly'nin türetiminin kalbinde logaritmik fayda vardır. Tek bir bahsin beklenen değerini değil, çok dönem sonrası sermayenin geometrik büyüme oranını maksimize ederiz. Çünkü gerçek hayatta kazançlar çarpılır, toplanmaz: 100 lira ile başladıysanız, üç bahis sonra paranız $100 \cdot r_1 \cdot r_2 \cdot r_3$'tür.

Geometrik ortalamayı maksimize etmek logaritmaların ortalamasını maksimize etmektir. Birden çok dönemde bahis oynayan biri için sermayenin uzun-vadeli üstel büyüme oranı:

$G(f) = p \log(1 + bf) + q \log(1 - f)$

Bu fonksiyonun türevini sıfıra eşitleyince Kelly formülü çıkar.

Çok yatırmak niye batırır?

Diyelim $p=0.6,\ b=1$ — Kelly diyor ki %20. Eğer %50 yatırırsanız, beklenen değer aynı kalır (her bahis 0.20 kâr getirir), ama uzun vadeli büyüme oranı negatif olur. Bir kayıp sermayenizi yarıya indirir; bunu telafi etmek için bir kazanç sermayenizi iki katına çıkarmalı — ama %50 yatırımla bu mümkün değil.

İşte Kelly'nin acı dersi: Beklenen değer ile büyüme oranı aynı şey değildir. Birincisi tek dönem ortalaması; ikincisi binlerce dönem sonrasının asimptotik davranışı.

"Kesirli Kelly": gerçek hayatta neden?

Pratik yatırımcılar genellikle Kelly'nin yarısını veya çeyreğini kullanır. Sebepleri:

• Olasılık tahminleri belirsizdir. $p$'yi yanlış bilirseniz Kelly fazla agresif olabilir.
• Tam Kelly bile dalgalanma açısından çok yüksektir; psikolojik olarak dayanılmaz.
• Risk-ödül dengesi: yarım Kelly büyüme oranının dörtte üçünü korurken dalgalanmayı yarıya indirir.

Hangi yatırımcılar kullandı?

• Edward Thorp: Blackjack'i sayma yöntemiyle yenen, sonra ABD'nin ilk kantitatif hedge fonunu kuran matematikçi. Kelly'yi sistemli kullandı.
• Warren Buffett ve Charlie Munger: Konsantre portföyleri Kelly mantığına uyar (az ama büyük bahis).
• Bill Gross (eski PIMCO): "Kelly her yatırımcının okuması gereken kitap" demişti.
• Modern hedge fonların çoğu pozisyon büyüklüğünü Kelly türevi formüllerle hesaplar.

Sınırlamalar

Kelly bir mucize değildir:

• Avantajın gerçek olduğunu varsayar. Yanlış sinyalle bahis oynarsanız Kelly hızla batırır.
• Risksiz limit yok: Tek bir bahiste %50, %80 kaybetmek mümkündür; sadece uzun vadede pozitiftir.
• Bahisler bağımsız sayılır: Korelasyonlu pozisyonlarda formül değişir.
• Vergi, komisyon, likidite gibi gerçek-dünya sürtünmeleri formülün dışındadır.

Yine de Kelly Criterion, "ne kadar yatırayım?" sorusuna matematiksel olarak tutarlı bir cevap veren ender ilkelerden biridir. Pek çok profesyonel yatırımcı tam ona uymasa da, mental sınırlama olarak hep arka planda durur: Avantajın varsa cesur ol, ama Kelly'nin üstüne çıkma.