Kelly Kriteri: Avantajlı Bir Bahiste Paranızın Yüzde Kaçını Yatırmalısınız?

Size şöyle bir teklif geliyor: hileli bir yazı-tura paranız var; %60 ihtimalle yazı, %40 ihtimalle tura geliyor. Yazı gelirse yatırdığınız parayı eşit miktarda kazanıyorsunuz (bahsi 1$ koyarsanız 1$ kâr); tura gelirse yatırdığınızı kaybediyorsunuz. Bu oyun istediğiniz kadar oynanabiliyor. Elinizde 100$ var. Her atışta paranızın yüzde kaçını ortaya koymalısınız?

İlk sezgi şöyle olabilir: "Şansım yüksek. Hepsini yatırırım, sonra yine hepsini, yine hepsini…" Bu strateji felakettir. Çünkü %40 ihtimalle bir kaybetme yeter; paranızın hepsi sıfırlanır. Oyun biter.

Karşı sezgi: "Az yatırırım, sıfırlanmam." Bu strateji güvenli ama büyüme yavaştır. Avantajınızı tam değerlendirmemiş olursunuz.

Demek ki ikisi arasında bir "optimal yüzde" olmalı. Bunun kesin değerini 1956'da Bell Labs'ta çalışan John L. Kelly Jr. yazdığı kısa bir makalede buldu.

Kelly formülü

Genel formu şudur. Bir bahsi düşünün:

• Kazanma olasılığı $p$, kaybetme olasılığı $q = 1 - p$.
• Net oran $b$: 1 birim yatırırsanız kazandığınızda kâr olarak $b$ birim alıyorsunuz (yatırdığınız da geri geliyor); kaybedince yatırdığınız 1 birim gidiyor.

Her seferinde sermayenizin yüzdesi olarak yatırmanız gereken optimal pay $f^*$:

$f^* = \frac{bp - q}{b}$

Yazı-tura örneğimiz için: $p = 0{,}6$, $q = 0{,}4$, $b = 1$.

$f^* = \frac{1 \cdot 0{,}6 - 0{,}4}{1} = 0{,}2 = \%20$

Yani her atışta paranızın %20'sini yatırmalısınız. 100$ ile başlarsanız ilk atışta 20$ riske atarsınız; kazanırsanız ortaya 24$ (yeni paranızın %20'si) çıkarırsınız; kaybederseniz 16$ koyarsınız. Strateji her zaman aynı yüzdeyi korur, mutlak tutarı değil.

Niye %20? Niye %50 ya da %80 değil?

Kelly'nin ana fikri şudur: "kazanca odaklan" yerine "logaritmik kazanca" odaklan. Bunun pratik karşılığı: sermayenin uzun vadeli büyüme oranını maksimize etmek. Yani N atış sonra paranızın beklenen büyüme katsayısını en üst düzeye çıkarmak.

Eğer her atışta $f$ oranında yatırırsanız, paranız her kazançta $(1 + bf)$ ile çarpılır, her kayıpta $(1 - f)$ ile çarpılır. $n$ atış sonrasında paranızın ortalama büyüme katsayısı (geometrik anlamda):

$G(f) = (1 + bf)^p \, (1 - f)^q$

(Burada üsler, atışların yaklaşık $p$ oranında kazanç, $q$ oranında kayıp ile sonuçlanacağı varsayımına dayanır.)

$G(f)$'yi büyütmek istiyorsunuz. Logaritmasını alırsak:

$\log G(f) = p \log(1 + bf) + q \log(1 - f)$

Türevini sıfırlarsanız:

$\frac{p b}{1 + bf} - \frac{q}{1 - f} = 0$

Bu denklem çözüldüğünde tam olarak $f^* = (bp - q)/b$ çıkar. Yani Kelly fraksiyonu, uzun vadeli logaritmik büyümeyi maksimize eden tek $f$ değeridir.

%50 yatırırsanız ne olur?

Kelly oranının üzerine çıkmak sezgisel olarak çekici görünür: "Ben daha çok kazanayım." Ama matematik şöyle der: $f$ optimal değerin üstüne çıktığında, büyüme katsayısı $G(f)$ önce düşer, sonra hızla negatife (kayıpa) döner.

Aynı oyun (%60 kazanç, eşit ödeme) için bazı seçeneklerin uzun vadeli "tipik" sonuçlarına bakalım:

• $f = 0{,}10$: yavaş ama güvenli büyüme.
• $f = 0{,}20$ (Kelly): en hızlı uzun vade büyümesi.
• $f = 0{,}30$: optimumun üstünde, büyüme daha yavaş.
• $f = 0{,}50$: hâlâ büyüme var ama belirgin yavaş; sermaye dalgalanması büyük.
• $f = 0{,}80$: uzun vadede neredeyse her oyuncunun sıfırlanması.
• $f = 1$: ilk kaybedişte iflas, kesin.

Bu nedenle profesyonel poker, blackjack ve hatta hisse senedi yöneticileri arasında Kelly'nin yarısı, çeyreği ya da $1/3$'ünü uygulamak yaygındır ("fractional Kelly"). Sebebi: Kelly tam değerinde uygulanırsa sermaye dalgalanması büyük olur — kısa vadede %50'ye kadar düşme normaldir. Yarım Kelly, biraz daha az büyüme karşılığında çok daha az gerilim sağlar.

Avantaj yoksa Kelly ne der?

Önemli bir nokta: Eğer $bp - q < 0$ ise (yani beklenen değer negatifse), Kelly formülü negatif bir $f^*$ verir. Bunun pratik anlamı: "bu oyunu oynamayın". Yani Kelly, sizi avantajınız olmadığı oyunlardan uzaklaştırır. Lotonun beklenen değeri her zaman negatiftir; Kelly cevabı temizdir: yatırılacak optimal yüzde sıfırdır.

Bu, Kelly kriterinin sigorta veya kumar değil, asıl olarak avantajlı bahisler için bir araç olduğunu gösterir. "Avantajınızı somut bir yüzdeye çevirin; sonra onu nasıl ölçeklendireceğinizin matematiksel cevabı budur" der.

Bell Labs'tan finansa

John Kelly, 1956'da bu formülü teknik olarak iletişim kanallarındaki bilgi aktarımı problemini çözerken yazdı. Onun amacı bahis değil, Shannon bilgi teorisinin başka bir tarafıydı. Ancak bir matematikçi-kumarbaz olan Edward Thorp (sonradan kart sayma ile blackjack tarihini değiştiren kişi), 1960'larda Kelly formülünü ilk kez büyük ölçekli kumar ve hisse senedi yatırımlarında uyguladı. Thorp'un öğrencileri ve takipçileri arasından çıkanlar, modern hedge fund dünyasında Kelly fikrini kalıcı hale getirdiler.

Warren Buffett'ın iş ortağı Charlie Munger, "büyük fırsatlar olduğunda iri iri bahis koyma" felsefesini Kelly'nin sezgilerine bağlamıştır. Buffett'ın konsantre portföy yaklaşımı, "neyi gerçekten anladığını bil, sonra emin olduğun şeylere göre ağırlık ver" derken aslında pratikte bir Kelly disiplinidir.

Bir saniye, sezgi tekrar

Bir gün size avantajlı bir bahis sunulursa şu üç soru:

1. Avantajım gerçekten ne kadar? ($p$ ve $b$ değerleri makul mü?)
2. Oyunu istediğim kadar tekrarlayabilir miyim? (Kelly tek atışta değil, uzun vadede çalışır.)
3. Kelly'nin tamamını mı, yarısını mı uygulayacağım? (Sermaye dalgalanmasına ne kadar dayanıklıyım?)

Bu üç soru, basit bir formülü hayatın karmaşık karar problemine bağlar. Matematik, "her şey ya hep ya hiç" diyen sezgilerimizin yerine "doğru yüzde" diye düzgün bir cevap koyar — ve uzun vadede paranın kralı bu yüzdedir.