Kiyoshi Itô: Stokastik Kalkülüsü Savaş Yıllarında Yalnız Başına İcat Eden Japon

Hokkaido'dan Tokyo'ya

Kiyoshi Itô (伊藤 清) 7 Eylül 1915'te Japonya'nın Mie Prefektörlüğü'nde bir orta sınıf ailenin oğlu olarak doğdu. Babası okul müdürüydü. Çocukluğunda en sevdiği konu matematikti; lisede Tokyo'ya gönderildi.

1935'te Tokyo İmparatorluk Üniversitesi (bugünkü Tokyo Üniversitesi) matematik bölümüne girdi. O dönemde Japonya'da modern matematik yeni filizleniyordu; Teiji Takagi (sınıf alanları teorisi) ve Shokichi Iyanaga öğretim üyeleriydi.

1938'de mezun, Cabinet İstatistik Bürosu'nda iş aldı. Aktüerya hesaplarıyla başladı; olasılık teorisinin pratik yüzünü gördü.

Savaş yılları ve izolasyon (1939-1945)

İkinci Dünya Savaşı patlayınca Japonya akademik dünyası Batı'dan kopuk hale geldi. Kütüphaneler boşaltıldı, ABD/Avrupa dergileri yasak, uluslararası seyahat imkânsız.

Itô Tokyo İstatistik Enstitüsü'nde çalışıyordu. Kütüphanesinde Kolmogorov'un 1933 Foundations of Probability kitabının Almanca çevirisi vardı; bir de Paul Lévy'nin 1937 Théorie de l'addition des variables aléatoires eseri.

Lévy'nin kitabını okurken Itô bir sezgi yaşadı: "Brownian hareket gibi sürekli ama her noktada türevsiz fonksiyonlar için kalkülüs yapılabilir mi?"

Klasik kalkülüs Brownian hareket için çalışmaz: trajektör her yerde sürekli ama türevsiz. Riemann-Stieltjes integrali tanımlanmaz. Itô bu boşluğu doldurmak istedi.

Itô integrali (1944)

1944'te Tokyo'da, savaş bombardımanı altında, Itô stokastik integrali tanıttı:

$I(f) = \int_0^t f(s) \, dB_s$

Burada $B_s$ Brownian hareket. Bu integralin tanımı, klasik integral gibi olamaz çünkü $B$ türevsiz. Itô, integrali L² limiti olarak tanımladı; tanımı dikkatli, sınır koşulları sıkı.

Makalesi: On Stochastic Processes, Japanese Journal of Mathematics, 1944. Bombardımanlar arasında basıldı, çok az dağıtıldı. Yıllarca uluslararası dünyada bilinmedi.

Itô lemması (1951)

Itô'nun şaheseri: Itô lemması (1951). Brownian hareketinin zincir kuralı:

Eğer $X_t$ stokastik diferansiyel denklemi izliyorsa: $dX_t = \mu \, dt + \sigma \, dB_t$, ve $f(t, X_t)$ iki kez sürekli türevli fonksiyon, o zaman:

$df = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right) dt + \sigma \frac{\partial f}{\partial x} dB_t$

Klasik zincir kuralının yanında fazladan $\frac{1}{2}\sigma^2 f''$ terimi var — bu, Brownian hareketinin "şişkinliği" nedeniyle.

Bu lemma, stokastik kalkülüsün temel formülüdür. Tek bir formülün sonuçları:

• Doğrusal olmayan SDE'lerin çözümü.
• Stokastik PDE'ler.
• Finansta Black-Scholes denklemi (1973): tam tamına Itô lemması uygulanır; opsiyon fiyatları için kapalı form çıkar.

Uluslararası tanınma (1950 sonrası)

Savaştan sonra Itô'nun çalışmaları Joseph Doob ve Henry McKean gibi Amerikalı olasılıkçılar tarafından keşfedildi. 1950'lerde Princeton'a (1954-1956), Stanford'a, Aarhus'a (1976-1979) ziyaretler.

1979'da Kyoto Üniversitesi'nde Matematiksel Analiz Araştırma Enstitüsü'nün (RIMS) direktörü oldu. Japonya'nın olasılık okulu — Watanabe, Ikeda, Kunita — Itô'nun öğrencileri / takipçileri.

Finansta etkisi — Black-Scholes (1973)

Fischer Black ve Myron Scholes 1973'te ünlü opsiyon fiyatlama denklemini yazdıklarında, kullandıkları matematik doğrudan Itô lemmasıydı. Opsiyon değerinin Brownian hisse fiyatı altındaki dinamiği:

$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + r S \frac{\partial V}{\partial S} - r V = 0$

Bu PDE, Itô lemmasının türü "değişken"e uygulanmış halinden çıkar. 1997 Nobel Ekonomi Ödülü Scholes ve Merton'a verildi (Black ölmüştü); Itô matematiksel temel olarak adıyla anılmadı ama her finans matematikçisi onun borçlu olduğunu bilir.

Diğer katkılar

• Itô diffüzyonu: stokastik süreçlerin genel teorisi.
• Süreçlerin "Itô gösterimi": bir martingalı Brownian integralinin toplamı olarak yazma.
• Excursion teorisi: Brownian hareketin "yumru kümeler"ini analiz etme.
• Sayısal SDE çözümleri: Itô-Taylor açılımları.

Itô'nun toplam 100'den fazla makalesi ve birkaç kitabı var. Probability Theory (1953) ve Stochastic Processes (Kolmogorov ile) klasiklerden.

Gauss Ödülü (2006)

2006'da Carl Friedrich Gauss Ödülü ilk kez verildi; gerekçesi "matematiğin uygulama alanlarına olan etkisini ödüllendirmek". İlk sahibi Kiyoshi Itô oldu. 91 yaşında.

Gerekçe: "Itô kalkülüsü, finans, fizik, mühendislik ve biyolojinin pek çok dalında uygulama bulan modern olasılık teorisinin temel taşıdır."

Ödülü oğlu Junko Itô kabul etti — Kiyoshi sağlık nedeniyle Madrid Kongresi'ne gidemiyordu.

Ölüm

Kiyoshi Itô 10 Kasım 2008'de Kyoto'da öldü. 93 yaşında. Eşi Shizue (1943'te evlendiler) ile 65 yıl evli kaldı; üç kızları oldu — biri matematikçi (Junko Itô, dilbilimci olarak da tanınır).

Kişilik

Itô zarif, sessiz, terbiyeli bir Japon centilmeniydi. Konuşmalarında matematik kadar şiir ve klasik Çin edebiyatı geçer. Öğrencileriyle ilişkisi geleneksel: yumuşak ama disiplinli.

Paul Erdős Itô'yu ziyaret etmişti; Itô onu Tokyo'da gezdirdi. Erdős sonradan dedi: "Itô, Doğu'nun en zarif matematikçisi."

Miras

• Itô kalkülüsü = stokastik kalkülüs: modern olasılık teorisinin temel dili.
• Itô integrali, Itô lemması, Itô SDE, Itô diffüzyonu — onlarca kavram.
• Finansal matematik: Black-Scholes'tan günümüze her opsiyon fiyatı Itô'nun denklemine yaslanır.
• Mühendislik: sinyal işleme, kontrol teorisi, Kalman filtresi gibi araçların altyapısı.
• Fizik: kuantum mekaniği yol integralleri, dağınık parçacık modelleri.
• Biyoloji: nüfus dinamiği, enzim kinetik.

Matematik olasılık-fizik-finans köprülerinin Doğu kanadı Itô olmuştur.

Sonuç

Kiyoshi Itô'nun hikâyesi, bilim insanı tek başına bir alanın temelini atabilir demenin Doğu örneği. Savaş yıllarında, uluslararası izolasyonda, kütüphanelerin sınırlı olduğu yerde tek başına çalışıp modern olasılığın yarısını icat etti.

"Brownian hareket sürekli ama türevsiz — biz onu yine de integralleyebiliriz." Bu tek cümlede modern finansın, sinyal işlemenin, kuantum mekaniğinin matematiksel temeli yatar.