Königsberg’in Yedi Köprüsü: Bir Yürüyüşten Doğan Bilim

Bir Şehir, Bir Nehir, Yedi Köprü

$18.$ yüzyılda, bugün Rusya’nın Kaliningrad şehri olan Königsberg’in ortasından bir nehir geçiyordu. Nehir, şehri dört kara parçasına bölüyor ve bu parçalar birbirine yedi köprüyle bağlanıyordu. Şehir halkı arasında tatlı bir bulmaca dolaşıyordu:

Bir kişi, yedi köprünün her birinden yalnızca bir kez geçerek bütün şehri dolaşabilir mi?

İnsanlar yıllarca denedi, hiçbiri başaramadı. Ama “başaramadık” demek, “imkânsız” demek değildir. Bunun gerçekten imkânsız olup olmadığını kanıtlamak bir matematikçiye düştü: Leonhard Euler.

Euler’in Dâhiyane Soyutlaması

Euler’in yaptığı şey, problemi çözmekten çok onu yeniden görmekti. Köprülerin uzunluğu, kara parçalarının şekli, mesafeler — bunların hiçbiri önemli değildi. Önemli olan tek şey, hangi kara parçasının hangisine kaç köprüyle bağlı olduğuydu.

Euler her kara parçasını bir nokta (düğüm), her köprüyü bu noktaları birleştiren bir çizgi (kenar) olarak düşündü. Böylece şehir haritası, dört noktalı basit bir şemaya dönüştü. İşte bu şema, bugün graf dediğimiz yapının ilk örneğidir.

Çözümün Anahtarı: Tek mi, Çift mi?

Euler şunu fark etti: bir kara parçasına girersen, oradan çıkman da gerekir. Yani bir noktadan geçen bir yolda, o noktaya bağlı köprülerin çift sayıda olması gerekir (bir gir, bir çık). İstisna sadece başlangıç ve bitiş noktalarıdır.

Königsberg’de ise dört kara parçasının da bağlandığı köprü sayısı tekti. Oysa böyle bir yürüyüşün olabilmesi için, tek sayıda bağlantısı olan nokta sayısı en fazla iki olmalıydı. Dört tane tek noktayla bu yürüyüş imkânsızdı.

Euler, halkın yıllarca boşuna denediği şeyin neden imkânsız olduğunu, tek bir mantıkla kanıtlamış oldu.

Küçük Bir Sorudan Koca Bir Dal

Bu çözümün asıl önemi, tek bir bulmacayı kapatması değildi. Euler, geometriyi ölçü ve şekilden bağımsız, yalnızca bağlantılarla düşünmenin mümkün olduğunu gösterdi. Bu fikir, bugün graf teorisi ve topoloji denen kocaman matematik alanlarının tohumu oldu.

Bugün internet ağları, sosyal medya bağlantıları, kargo rotaları, GPS yol bulma, hatta beyindeki nöron haritaları — hepsi graf teorisiyle modellenir. Telefonunuzdaki navigasyon “en kısa yolu” bulurken, $1736$’da bir şehir yürüyüşünden doğan fikri kullanır.

Bazen en büyük buluşlar, en küçük sorulardan doğar. Yeter ki soruya doğru açıdan bakmayı bilelim.