Lagrange'ın Dört Kare Teoremi: Her Pozitif Tam Sayı En Fazla Dört Karenin Toplamı

Bir oyun: sayıları kare toplamı olarak yaz

Bir matematik öğretmeni tahtaya $n = 7$ yazar ve sorar: "Bu sayıyı tam karelerin toplamı olarak yazabilir misiniz?"

Öğrenci dener:

• $7 = 4 + 1 + 1 + 1$ ✓ (dört kare)
• 3 kare ile? $7 = ?$. Olmuyor — $4 + 1 + 1 = 6$, $4 + 4 = 8$, $1 + 1 + 1 = 3$. 3 kareyle imkansız.

Şimdi $n = 23$:

• $23 = 9 + 9 + 4 + 1$ ✓
• 3 kare ile? $16 + 4 + 1 = 21$, $9 + 9 + 4 = 22$... Olmuyor.

Tam sayıların büyük bir alt kümesi (örneğin $7, 15, 23, 28, 31, ...$ — $4^a(8b+7)$ formundakiler) 3 kare ile yazılamaz. Ama hepsi 4 kare ile yazılabilir.

Lagrange'ın dört kare teoremi (1770):

Her pozitif tam sayı $n$, dört tam sayının karesinin toplamı olarak yazılabilir:
$n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2, \quad a, b, c, d \in \mathbb{Z}_{\geq 0}.$

"4" sayısı olabilecek en küçük sayıdır. 3 yetmez, 4 her zaman yeterli. Bu basit cümle 1500 yıl tartışıldı.

Tarih — Diofantos'tan Lagrange'a

Diofantos (~MS 250)

İskenderiyeli Diofantos, Aritmetika eserinde bazı sayıların 4 kareye ayrılabilen örneklerini verdi. Açıkça genel teoremi yazmadı, ama sezgisel olarak biliyor gibi.

Bachet (1621)

Claude Gaspard Bachet de Méziriac — Diofantos'un Latince çevirisini yapan adam — kitabında ek olarak Lagrange teoremini bir sanı olarak yazdı: "Diofantos'un örneklerinden anladığım kadarıyla her sayı dört kareye bölünür." İspatı yoktu.

Fermat'nın "marjinal" iddiası

Pierre de Fermat Bachet'nin kitabının marjına bir iddia düştü (1640'lar): "Bu teoremi ispatladım, ama marj küçük." (Tabii ki, Fermat'nın ünlü stili.) İspatı asla yayımlamadı; gerçekten kanıtlayıp kanıtlamadığı tarih için açık.

Euler 40 yıl denedi

Leonhard Euler (1707-83) hayatının 40 yılını dört kare teoremine harcadı. Sayısız ara sonuç üretti. Çok yaklaştı ama tam kanıtı bulamadı. 1748'de "Euler'in dört kare özdeşliği"ni keşfetti — bu özdeşlik teoremin ispatının anahtarı olacak:

$(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(e^2 + f^2 + g^2 + h^2) =$
$(ae - bf - cg - dh)^2 + (af + be + ch - dg)^2 + (ag - bh + ce + df)^2 + (ah + bg - cf + de)^2$

Yani iki dört-kare sayısının çarpımı yine dört-kare. Bu, ispatın hayati adımı.

Lagrange'ın ispatı (1770)

Joseph-Louis Lagrange, Euler'in tüm ara çalışmasını kullanarak 1770'te tam ispatı verdi. Strateji:

1. Her asal $p$ için $p = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ olduğunu göster.
2. Sonra Euler özdeşliği ile bunu bileşik sayılara uzat.

İlk adımın güzelliği "sonsuz iniş" yöntemiyle yapılır (Fermat'nın yöntemi). $p$ asal, $p$'yi 4 karenin toplamı yapan bazı $(a, b, c, d)$ bulun (bazıları belki büyük); sonra daha küçük bir çözüm üretin.

Lagrange bu ispatı 8 sayfada gerçekleştirdi. 18. yüzyıl matematik şaheserlerinden.

Hangi sayılar 3 kareye yetmez?

Lagrange dört kareye yetiyor diyor. Peki üç kare ne zaman yeter?

Gauss-Legendre üç kare teoremi: $n = a^2 + b^2 + c^2$ ⟺ $n$, $4^a (8b + 7)$ formunda değil.

Bu formdaki sayılar: $7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, ...$ üç kareye yetmez. 4. kare "fazla bir" eklemek zorundadır.

İlginç gözlem: $4^a(8b+7)$ formundaki sayıların doğal yoğunluğu $5/24$. Yani tüm pozitif tam sayıların ~20'si üç kareye yetmez.

Hurwitz'in zarif ispatı — kuaterniyonlar (1898)

Adolf Hurwitz çok daha şık bir ispat verdi: kuaterniyon tam sayıları.

Kuaterniyonlar $a + bi + cj + dk$ ($i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$). Bir kuaterniyonun normu:
$N(a + bi + cj + dk) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$

Hurwitz: "Tam sayı kuaterniyonların" (Lipschitz kuaterniyonları) bir Öklid halkasıdır. Yani tek çarpan ayrışımı vardır. Her tam sayı bu halkada çarpanlara ayrılır; her çarpanın normu da tam sayı; ve normun çarpımı çarpanların normlarının çarpımıdır.

Asal sayıyı sadece kuaterniyon olarak çarpanlara ayırın → norm ailesi her zaman 4 kare verir.

Bu ispat Euler özdeşliğinin kavramsal açıklamasıdır: dört kare toplamı yapısı kuaterniyonlardan geliyor. Cebrin gücünün güzel bir örneği.

Jacobi'nin sayım formülü (1834)

Sadece "var" demek yetmez; kaç farklı yolla yazılır? Carl Gustav Jacobi elliptik fonksiyon teorisi kullanarak şaşırtıcı bir formül buldu:

$r_4(n) = 8 \sum_{d \mid n, 4 \nmid d} d$

Yani $n$'nin 4 kare toplamı olarak yazılma sayısı (sıra ve işaret dahil), $n$'nin 4'e bölünmeyen bölenlerinin 8 katı toplamına eşittir.

Örnek: $n = 6$, bölenler $1, 2, 3, 6$ — hiçbiri 4'e bölünmüyor. Toplam $= 12$. $r_4(6) = 96$.

Jacobi formülü modern modüler form teorisinin doğum belgelerinden. Theta fonksiyonları ile $n$'i sayısal olarak ifade eder.

Genelleştirmeler

• 2 kare: $n = a^2 + b^2$ ⟺ $n$'nin $4k+3$ formundaki asal çarpanları çift sayıda geçer (Fermat).
• 3 kare: $n = a^2 + b^2 + c^2$ ⟺ $n \neq 4^a(8b+7)$ (Gauss-Legendre).
• 4 kare: Her zaman (Lagrange).
• $k$-inci kuvvetler: Waring problemi, Hilbert-Waring teoremi.

Modern aritmetik bu klasik teoremin etrafında inşa edilmiştir.

Sonuç

Lagrange'ın dört kare teoremi, sayı teorisinin temel taşlarından biridir:

• Diofantos (250) sezdi.
• Bachet (1621) sanı olarak yazdı.
• Fermat (1640) "ispatladım" dedi.
• Euler (1748) anahtar özdeşliği buldu.
• Lagrange (1770) tam ispatı verdi.
• Hurwitz (1898) kuaterniyonlarla zarif yeniden ispatladı.
• Jacobi (1834) sayım formülünü buldu.

1500 yıllık bir maceranın sonu: her pozitif tam sayı, en fazla dört karenin toplamı. Cebrin, geometrinin ve aritmetiğin buluştuğu şıklık abidesi.

Pratik fayda? Çok az. Ama sayı teorisinin estetiği budur. Bazı teoremler sadece güzel oldukları için vardır.