Niels Henrik Abel: 26 Yıllık Bir Hayatta İmkânsızı Kanıtlamak

Üçüncü dereceden bir denklemi nasıl çözeceğinizi biliyorsanız, bunu size Rönesans İtalyası'nın acımasız rekabetinde kazanılmış bir formül borçludur. Dördüncü derecedeki çözüm formülü de aynı kuşaktan gelir. Sonra 300 yıl sürdü — Avrupa'nın en parlak matematikçileri, beşinci derece denklem $ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0$ için benzer bir genel formül aradı. Bulamadılar. Çünkü böyle bir formül yoktu. Bunu ilk kez kesin biçimde gösteren kişi, 22 yaşında bir Norveçliydi: Niels Henrik Abel.

Bir köyden gelen dehâ

Abel, 1802'de Norveç'in güneyindeki küçük Finnøy adasında doğdu. Babası fakir bir köy papazıydı, ailesi geçimini zor sağlıyordu. Niels'in matematik yeteneğini fark eden ilk kişi, Christiania (bugünkü Oslo) okulundaki öğretmeni Bernt Holmboe oldu. Holmboe, derslerde olağan ödevler yerine ona Euler, Laplace, Lagrange ve Gauss'un en zor kitaplarından alıntılar verdi. 16 yaşına geldiğinde Abel, dönemin "en üst seviye" diye anılan matematik metinlerini okuyabiliyor — ve içlerinde küçük hatalar bile bulabiliyordu.

Babası 1820'de öldüğünde aile maddi olarak çöktü. Niels, küçük kardeşlerini ve annesini geçindirme yükünü üstlendi. Devlet bursuyla Christiania Üniversitesi'ne kabul edildi; ders veriyor, özel ders parası kazanmaya çalışıyor, geceleri kendi araştırmasını yapıyordu.

"Genel quintik formül"ün hayaleti

O dönem matematik dünyasının en bilinen açık problemlerinden biri beşinci derece denklem problemiydi. İkinci dereceden $ax^2 + bx + c = 0$'ın çözümünü herkes bilir:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Üçüncü ve dördüncü dereceden için Cardano, Tartaglia, Ferrari benzer (çok daha karışık) radikallerle — yani toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök alma işlemleriyle — yazılan formüller bulmuşlardı. Soru basitti: beşinci derece için böyle bir formül var mı?

Genç Abel, üniversitenin ilk yıllarında bir gece "ben buldum!" diye uyandı. Bulduğunu sandığı çözümü yazıp Kopenhag'a, Carl Ferdinand Degen'e gönderdi. Degen formülde bir hata gördü, ama daha önemli bir tavsiye verdi: "Genç adam, sen önce somut bir denklemde çalıştır. Hatayı kendin bulursun, ya da formülün doğruysa o zaman gerçekten devrim yapmış olursun."

Abel kendi formülünü test ederken hatayı buldu. Ama bu deneyim onu çok daha cesur bir soruya götürdü: Belki de hata bende değil; belki böyle bir formül zaten yok.

İmkânsızlığı ispatlamak

İmkânsızlığı kanıtlamak, mümkün olanı keşfetmekten çok daha zor bir matematik türüdür. "Bir formül yok" demek için, insanın aklına gelebilecek tüm olası formüllerin hepsinin başarısız olduğunu göstermek gerekir. Abel, soruyu bu denli güçlü bir biçimde formüle eden ilk kişi oldu ve 1824'te kendi parasıyla bastığı küçük bir broşürde ispatın çekirdeğini yayımladı. Daha sonra 1826'da Berlin'de yayımlanan, daha rafine sürümü bugün Abel–Ruffini teoremi olarak bilinir (İtalyan Paolo Ruffini 1799'da eksik bir ispat sunmuştu; Abel ilk eksiksiz olanı verdi).

Teorem kabaca şöyle der:

Beşinci ya da daha yüksek dereceden genel bir polinom denklem, sadece toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök alma işlemleriyle çözülemez.

Yani $x^5 - x - 1 = 0$ denkleminin köklerini istediğiniz hassasiyette sayısal olarak bulabilirsiniz. Ama bu kökleri, denklemin katsayılarından "kapalı formül"le ifade etmek imkânsızdır.

Bu, matematik tarihinin sembolik dönüm noktalarından biriydi. Birkaç yıl sonra Évariste Galois, Abel'in sonucunun "neden" doğru olduğunu çok daha derin bir biçimde açıkladı: simetri ve gruplar üzerinden. Galois teorisi, bugün modern cebirin omurgasıdır.

Paris ve hayal kırıklığı

Abel, 1825'te Avrupa'nın matematik başkentlerini görmek üzere yola çıktı. Berlin'de, kendisinin yetenekli olduğunu hemen fark eden August Leopold Crelle ile tanıştı. Crelle yeni kurduğu Journal für die reine und angewandte Mathematik (bugün hâlâ yayımlanan saygın dergi) için Abel'in birçok makalesini yayımladı — ve böylece Abel'in çalışmaları Avrupa'da yayıldı.

Paris'te işler iyi gitmedi. Abel, hayatının başyapıtı olarak gördüğü bir mektubunu eliptik fonksiyonlar üzerine yazmıştı ve bunu Fransız Bilimler Akademisi'ne sundu. İnceleme görevini alan Augustin-Louis Cauchy, yığın yığın evrak arasında metni kaybetti. Sonraki yıllarda Abel'in birçok çalışması Cauchy'nin masasında, hak ettiği ilgiyi görmeden bekledi.

Erken kapanan parantez

Abel, Paris'ten beş parasız ve hasta döndü; tüberküloz teşhisi konmuştu. Norveç'e dönüşünde sevgilisi Crelly Kemp'in yanına gitmek üzere bir kızağa bindi. Yolda hastalığı ağırlaştı. 6 Nisan 1829'da, henüz 26 yaşındayken öldü.

Tarihte kısa parantezler her zaman bir trajedidir; ama Abel'inkinde özellikle acı bir ironi vardır: ölümünden iki gün sonra, Berlin'den Crelle'in mektubu Christiania'ya ulaştı. Crelle, Berlin Üniversitesi'nde Abel için bir profesörlük pozisyonunu kabul ettirmişti.

Mirası

Abel'in matematiğe katkısı yalnızca bir teorem değildir:

• Eliptik fonksiyonlar teorisinin kurucularından biridir. Onunla aynı dönemde çalışan Carl Gustav Jacobi ile birlikte konuyu sistemleştirdiler.
• Sonsuz seriler ve yakınsama üzerine yaptığı çalışmalar, kalkülüsün ondan önceki yarı-sezgisel halini, modern titiz analize taşıdı. Bugün "Abel yakınsaklık teoremi", "Abel toplamı" gibi pek çok kavram onun adını taşır.
• Cebir ve sayı teorisinde "Abelyen grup" kavramı (toplamada sıranın önemli olmadığı grup), onun çalışmalarının onurlandırılmasıdır. Bu, modern matematiğin en sık kullandığı terimlerden biridir.

Norveç hükümeti, 2002'de (Abel'in doğumunun 200. yılında) Abel Ödülü'nü kurdu. Bu ödül bugün, "matematiğin Nobeli" olarak bilinir — Abel'in kısa hayatına yapılan en uzun süreli saygı duruşudur.

Bir köy papazının oğlu, parasız Norveç akşamlarında lambasının başında, dünyanın 300 yıldır cevaplayamadığı bir soruya "yok" cevabını yazdı. Sonra dağ yolunda, kar yağarken, mektubun ulaşmasını bekleyemeden öldü. Bu kadar kısa bir hayatın bu kadar derin bir iz bırakması, matematik tarihinin en sade ve en acı hatırlatmalarından biridir: Bilim, kimi zaman bir formül değil; kimi zaman, bir formülün olamayacağını gösterme cesaretidir.