Nikolai Lobachevsky: Öklid-Dışı Geometrinin "Koperniği"

Yetimliğe doğan dahi

Nikolai Ivanovich Lobachevsky 1792'de Rusya'nın Nizhny Novgorod kentinde, fakir bir devlet memurunun oğlu olarak doğdu. Yedi yaşında babası öldü; annesi üç çocuğunu büyütmek için Kazan'a taşındı. Annesi okul müdüründen burs kopararak Nikolai'yı Kazan İmparatorluk Üniversitesi'ne gönderdi.

Kazan o dönemde Rusya'nın doğu sınırında, yeni kurulmuş genç bir üniversiteydi. Lobachevsky 1816'da, 24 yaşında profesör oldu; 1827'de rektör seçildi ve 19 yıl bu görevi yürüttü. Üniversiteyi modernize etti, ders programını yeniden yazdı, yerleşkeyi büyüttü.

Öklid'in 5. postulatı sorunu

Öklid'in Elementler'i (M.Ö. ~300) geometriyi beş postulat üzerine kurmuştu. İlk dördü kısa ve sezgisel:

1. İki nokta arasında doğru çizilebilir.
2. Doğru her iki yönde uzatılabilir.
3. Herhangi bir noktayı merkez yapıp herhangi bir yarıçapla çember çizilebilir.
4. Tüm dik açılar birbirine eşittir.

Beşincisi farklıydı — uzun, karmaşık, "doğru gibi gelen" ama "ispatlanması gereken" hissi veriyordu:

5. postulat: Bir doğru, başka iki doğruyu kesip aynı tarafta açılar toplamı 180°'den küçük olacak şekilde keserse, o iki doğru o tarafta sonsuza dek uzatıldığında kesişir.

Daha sezgisel (Playfair formu): "Bir doğru ve dışında bir nokta verildiğinde, o noktadan geçen ve verilen doğruya paralel bir tane ve yalnız bir tane doğru çizilebilir."

2000 yıl matematikçiler bu postulatı diğer dördünden türetmeye çalıştılar — kanıtlanabilirse "postulat" olmayacaktı. Hepsi başarısız oldu. Sahaf cahili olan bile reddedilen ispat denemelerini biriktirir oldu.

Lobachevsky'nin cesur sıçraması

Lobachevsky farklı bir soru sordu: "Ya 5. postulat yanlışsa?" Yani: "Verilen doğruya, dış bir noktadan birden fazla paralel doğru çizilebiliyorsa ne olur?"

1826'da Kazan'da bu fikri tartıştığı dersleri sundu; 1829'da Kazan Bilim Dergisi'nde yayımladı: "Geometrinin İlkeleri Üzerine". Beklenmedik bir sonuç çıktı: bu varsayımla tutarlı, çelişkisiz bir geometri kurulabiliyordu. Tüm teoremler farklıydı — ama mantıken sağlam:

• Üçgenin iç açıları toplamı 180°'den küçük'tür.
• Üçgenin alanı, açılarının toplamından "ne kadar eksik" olduğuyla orantılıdır.
• Benzer üçgenler eştir (aynı şekil, farklı boyut imkânsız).
• Bir doğruya verilen dış noktadan sonsuz paralel doğru geçer.

Bu yapıya bugün hiperbolik geometri denir.

Sessiz reddiye

Sonuçlar paylaşıldığında akademik dünya görmezden geldi. Lobachevsky'nin makalesi Rusça yazılmıştı; Batı'ya geç ulaştı. Daha kötüsü: 1832'de Macar matematikçi János Bolyai bağımsız olarak aynı sonuçlara vardığını yayımlamıştı; Gauss ise kendi notlarında benzer fikirleri 30 yıldır saklıyordu ama "skandal yaratmamak için" yayımlamamıştı.

Gauss'un kendisi Lobachevsky'yi takdir etti, ancak alenen onaylamadı. Bu sessizlik Lobachevsky'nin kariyerine zarar verdi. 1846'da rektörlükten alındı, görünür sebep belirtilmedi. Görme yetisini kaybetmeye başladı; son eserini körken oğluna dikte ettirdi. 1856'da yoksul ve unutulmuş öldü.

Yeniden keşif

1860'lardan itibaren Riemann'ın "Riemann geometrisi" (eliptik, küresel) çalışmaları ve Beltrami, Klein, Poincaré'nin model inşaları sayesinde Lobachevsky'nin geometrisi yeniden keşfedildi. Beltrami 1868'de hiperbolik geometrinin iç tutarlı olduğunu kanıtladı — yani Öklid geometrisi ne kadar tutarlıysa hiperbolik geometri de o kadar tutarlıdır.

İyice yerleşmesi için kritik olay Einstein'ın Genel Görelilik kuramıydı (1915). Einstein, kütleçekiminin uzay-zamanı eğdiğini gösterdi; uzayın "düz" olması Öklidyen tahminden ibaretti, fizik açısından gerçek uzay-zaman yapısı düz değildi. Lobachevsky'nin 90 yıl önce hayal ettiği "alternatif geometri" artık fiziksel gerçeklik haline geldi.

"Geometrinin Koperniği"

Matematikçi William Kingdon Clifford Lobachevsky'yi "geometrinin Kopernik'i" diye andı. Tıpkı Kopernik'in "Dünya evrenin merkezi değildir" diyerek 1500 yıllık kozmolojiyi yıktığı gibi, Lobachevsky de "Öklid geometrisi geometrinin tek hali değildir" diyerek 2000 yıllık matematik dogmasını çürüttü.

Bugün ortaokul geometrisi hâlâ Öklid'in çatısı altında öğretilir, çünkü gündelik ölçeklerde uzay neredeyse düzdür. Ama her GPS sinyali Einstein'ın eğri uzay-zaman düzeltmesini hesaba katar; her kara delik modeli hiperbolik bölgelerde davranışı tahmin eder. Lobachevsky'nin reddedilen rüyası, evrenin gerçek dili oldu.