Asal Sayılar Neden Sonsuzdur? Öklid’in 2300 Yıllık İspatı

Hiç Bitmeyen Sayılar mı?

Asal sayılar ($2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$) ilerledikçe seyrekleşir gibi görünür: büyük sayılar arasında asal bulmak gittikçe zorlaşır. Bu da insana şunu düşündürür: acaba bir yerden sonra asal sayılar biter mi? Belki çok büyük bir “son asal” vardır?

Bu soruya cevap, $2300$ yıl önce Öklid tarafından verildi ve cevabı kesindir: Asal sayılar sonsuzdur, asla bitmez. Üstelik bunu kanıtlama yöntemi o kadar zariftir ki, bugün hâlâ matematiğin en güzel ispatlarından biri kabul edilir.

Öklid’in Dâhiyane Mantığı

Öklid, doğrudan “sonsuz tane var” demek yerine, tersini varsayıp çelişkiye düşürdü (bu yönteme olmayana ergi denir):

$1.$ Diyelim ki asal sayılar sonludur ve hepsini bir listeye yazdık: $p_1, p_2, \dots, p_n$ (sonuncusu en büyük asal).

$2.$ Şimdi tüm bu asalları birbiriyle çarpıp sonucuna $1$ ekleyelim:
$N = (p_1 \times p_2 \times \dots \times p_n) + 1$

$3.$ Bu yeni $N$ sayısını düşünelim. $N$’i listemizdeki herhangi bir asala bölersek, her zaman $1$ kalanı kalır (çünkü çarpıma $1$ ekledik). Yani $N$, listedeki hiçbir asala tam bölünmez.

$4.$ Ama her sayı ya asaldır ya da asal çarpanları vardır (aritmetiğin temel teoremi). $N$ ya kendisi asaldır — ki o zaman listede olmayan yeni bir asaldır — ya da listede olmayan bir asal çarpanı vardır.

$5.$ Her iki durumda da, “tüm asalları listeledik” varsayımımız yanlış çıkar. Çelişki!

Sonuç: Sonsuzluk

Demek ki “asal sayılar sonludur” varsayımı imkânsızdır. O hâlde asal sayılar sonsuzdur. Ne kadar büyük bir asal bulursanız bulun, ondan daha büyüğü mutlaka vardır.

İspatın güzelliği, hiçbir karmaşık araç kullanmamasıdır — sadece çarpma, $1$ ekleme ve mantık. Yine de sonsuzluk gibi devasa bir gerçeği kesin olarak kanıtlar.

Öklid’in ispatı, matematiğin gücünü gösterir: somut olarak sonsuz tane şeyi tek tek gösteremeyiz, ama saf mantıkla “sonu yoktur” diyebiliriz. $2300$ yıl önce yazılan bu birkaç satır, bugün hâlâ aynı kesinlikle doğrudur — gerçek matematiğin zamansızlığı budur.