Öklid-Dışı Geometri: Ya Paralel Doğrular Kesişiyorsa? 2000 Yıllık Bir Şüphenin Hikâyesi

Geometrinin Kutsal Kitabı

Yaklaşık M.Ö. 300'de Öklid, Elementler adlı eserini yazdı. Bu kitap, tüm geometriyi yalnızca birkaç temel varsayımdan (postülat) mantıkla inşa ediyordu ve tarihin en etkili ders kitaplarından biri oldu — iki bin yıldan fazla bir süre okutuldu.

Öklid beş postülatla başladı. İlk dördü son derece sade ve apaçıktı:

1. İki nokta arasından bir doğru çizilebilir.
2. Bir doğru parçası sonsuza uzatılabilir.
3. Bir merkez ve yarıçapla bir çember çizilebilir.
4. Tüm dik açılar birbirine eşittir.

Ama beşinci postülat farklıydı — uzun, karmaşık ve "apaçık" olmaktan uzaktı.

Sorunlu Beşinci Postülat

Beşinci postülat, modern ve sade bir biçimiyle (Playfair'in aksiyomu) şöyle ifade edilebilir:

Bir doğru ve bu doğrunun dışındaki bir nokta verildiğinde, o noktadan geçen ve ilk doğruya paralel olan yalnızca bir tek doğru çizilebilir.

Bu, paralel postülatı olarak bilinir. Diğer dört postülat kadar "bariz" görünmüyordu. Öklid'in kendisi bile ondan rahatsızdı; onu mümkün olduğunca geç kullanmaya çalıştı.

Yüzyıllar boyunca matematikçiler şuna inandı: Beşinci postülat aslında gereksizdir; o, diğer dördünden kanıtlanabilir bir teorem olmalıdır. Ve onu kanıtlamak için seferber oldular.

İki Bin Yıllık Bir Başarısızlık

Antik Yunan'dan İslam dünyasına, oradan Rönesans Avrupa'sına kadar en parlak zihinler beşinci postülatı diğer dördünden türetmeye çalıştı. Hepsi başarısız oldu. Bazıları "kanıtladığını" sandı, ama dikkatle incelendiğinde, her birinin farkında olmadan beşinci postülatın bir başka biçimini zaten varsaydığı ortaya çıkıyordu. Yani döngüsel bir akıl yürütme yapıyorlardı.

Bu, matematik tarihinin en uzun ve en inatçı başarısızlıklarından biriydi. Ta ki 19. yüzyılda birkaç dâhi, soruyu tamamen tersine çevirene kadar.

Devrimci Soru: "Ya Yanlışsa?"

19. yüzyılda, birbirinden bağımsız olarak çalışan birkaç matematikçi — Rus Nikolai Lobaçevski, Macar János Bolyai ve Alman Carl Friedrich Gauss (evet, yine Gauss; ama o sonuçlarını yayımlamaktan çekindi) — cesur bir soru sordu:

"Ya beşinci postülat yanlışsa? Onu reddedip yerine başka bir şey koyarsak, çelişkili bir geometri mi elde ederiz, yoksa tutarlı ama farklı bir geometri mi?"

Şaşırtıcı cevap: Tutarlı ama farklı bir geometri. Beşinci postülatı değiştirmek çelişki üretmiyordu; bambaşka, kendi içinde kusursuz işleyen yeni geometriler doğuruyordu. İşte bunlara Öklid-dışı geometriler denir.

İki Yeni Dünya

Paralel postülatını farklı biçimlerde değiştirerek iki ana yeni geometri ortaya çıktı:

Hiperbolik geometri: Bir noktadan, verilen doğruya paralel birden çok (aslında sonsuz) doğru çizilebilir. Bu geometriyi, bir at eyeri ya da kıvrılmış bir yaprak gibi negatif eğrilikli bir yüzeyde hayal edebilirsiniz. Burada bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden azdır.

Eliptik (küresel) geometri: Hiç paralel doğru yoktur — her doğru eninde sonunda kesişir. Bunu bir kürenin yüzeyinde düşünün. Dünya'daki boylamlar (meridyenler) ekvatorda birbirine "paralel" gibi durur ama kutuplarda kesişirler! Bu geometride bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden fazladır. (Bir küre üzerinde, kuzey kutbundan ekvatora inen iki çizgi ve ekvator parçasıyla, üç açısı da 90 derece olan bir üçgen çizebilirsiniz — toplamı 270 derece!)

Öklid'in tanıdık düzlemi ise bu ikisinin arasındaki "düz" durumdur; üçgen açıları tam 180 derecedir.

Sadece Soyut Bir Oyun mu? Hayır — Evrenin Şekli

Bu yeni geometriler başta tuhaf bir matematik merakı gibi görünüyordu. Ama 20. yüzyılın başında Albert Einstein, Genel Görelilik Teorisi'ni geliştirirken bu Öklid-dışı geometrilere muhtaç oldu.

Einstein'ın devrimci fikri şuydu: Uzay-zaman düzdür değildir; kütle ve enerji onu büker. Güneş gibi büyük bir kütle, etrafındaki uzay-zamanı eğer; gezegenler de bu eğri uzayda "düz" yol almaya çalışırken aslında yörüngelere girer. Yer çekimi, bir kuvvet değil, uzayın eğriliğidir.

Bu eğri uzay-zamanı tarif etmek için Einstein, Bernhard Riemann'ın (evet, hipotezin sahibi) geliştirdiği eğri uzay geometrisini kullandı. Yani 19. yüzyılda "saf merak"tan doğan Öklid-dışı geometri, bir asır sonra evrenin gerçek yapısını anlatan dil oldu. Işığın bir yıldızın yanından geçerken büküldüğü gözlemlerle bu teori defalarca doğrulandı.

Günümüzde Nerede?

• GPS: Konum servisleri, hem Dünya'nın küresel (eliptik) geometrisini hem de Einstein'ın görelilik düzeltmelerini hesaba katmak zorundadır. Bu düzeltmeler olmadan GPS, günde kilometrelerce hata yapardı.
• Kozmoloji: Evrenin bütününün şekli (düz mü, küresel mi, hiperbolik mi?) bugün hâlâ araştırılan temel bir sorudur ve doğrudan bu geometrilerle ifade edilir.
• Haritacılık: Küresel bir Dünya'yı düz bir haritaya aktarmanın neden hep bir "bozulma" gerektirdiği (Grönland'ın neden devasa göründüğü), küresel geometrinin doğrudan bir sonucudur.

Sonuç

İki bin yıl boyunca "kanıtlanması gereken bir kusur" sanılan beşinci postülat, aslında bir seçimdi. Onu kabul edersek Öklid'in tanıdık dünyasını, reddedersek bambaşka ama eşit derecede geçerli evrenleri elde ederiz.

Öklid-dışı geometrinin hikâyesi, matematiğin en derin derslerinden birini verir: Bazen en büyük ilerleme, "apaçık" sandığımız bir şeyi sorgulama cesaretinden doğar. Ve bazen, en soyut merakların peşinden gitmek, bizi tam da evrenin gerçek şeklini anlamaya götürür.