Paul Cohen: Zorlama Tekniği ve Fields Madalyalı Küme Teorisyeni

New Jersey'li sıradan başlangıç

Paul Joseph Cohen 2 Nisan 1934'te New Jersey'in Long Branch kentinde, Yahudi-Polonyalı bir göçmen ailenin oğlu olarak doğdu. Babası bir tekstil işçisi; anne-baba eğitimsizdi.

Genç Paul matematik harikası olarak çocukluğunda fark edildi. 9 yaşında lise matematikten ileri gitmiş; 14 yaşında Stuyvesant High School'a girdi (New York'un en seçkin lisesi).

Brooklyn College'da matematik okudu (1950-1953), sonra Chicago Üniversitesi'nde lisansüstü çalışmalara başladı.

Chicago doktorası

1958'de Chicago'da doktorasını verdi; hocası Antoni Zygmund (Polonyalı analist, harmonik analiz uzmanı). Doktora tezi trigonometrik seriler üzerine; klasik analizdeydi — küme teorisi DEĞİL.

MIT, Princeton ve Stanford

Doktora sonrası MIT'de bir yıl, Princeton'da bir yıl çalıştı. 1961'de Stanford Üniversitesi'ne geçti; ölümüne kadar 46 yıl orada kaldı.

İlk yıllarında harmonik analiz ve kısmi diferansiyel denklemler üzerine yayımladı. Bochner Ödülü (1964) bu çalışmalar için.

1962-1963: çıkış noktası

Cohen 1962'de Stanford Üniversitesi'nde küme teorisine yöneldi. Hedefi büyüktü: süreklilik hipotezi (CH), Hilbert'in birinci problemi.

CH bağlamında olan şey şuydu: Kurt Gödel 1940'ta kanıtlamıştı ki CH "ZFC ile tutarlıdır" — yani CH yanlış olduğunu kanıtlamak ZFC'den imkânsız.

Cohen ters yönü göstermek istiyordu: "CH değili de ZFC ile tutarlıdır" — yani CH doğru olduğunu kanıtlamak da imkânsız.

"Forcing" tekniği (1963)

1963'te Cohen yeni bir teknik icat etti: forcing (zorlama). Sezgisel olarak:

"Bir ZFC modelinden başla, dikkatli seçilmiş yeni elemanlar ekle, sonuçta yeni model yine ZFC'ye uysun ama CH yanlış olsun."

Bu çok zekice bir tekniktir. Cohen "genel filtreler" (generic filters) kullanır; eklenen elemanlar mevcut modelde "kararsız"'dır. Sonuç: yeni modelde doğal sayılar ile reel sayılar arası bir ara sonsuzluk vardır — CH yanlış.

22 Nisan 1963'te Cohen sonuçlarını Stanford'da bir seminerde sundu. Matematik camiası şokta kaldı. Kurt Gödel Princeton'dan tebrik mektubu yolladı: "Bunu kanıtlayanın olabileceğine 30 yıl boyunca inanmıyordum."

Hilbert'in 1. probleminin tam cevabı

Gödel (1940) + Cohen (1963) = Hilbert'in 1. problemi cevaplandı:

"Süreklilik hipotezi ZFC'den bağımsızdır." Ne kanıtlanabilir, ne çürütülebilir.

Bu, Gödel'in eksiklik teoreminin somut bir uygulaması. CH, ZFC'nin kararsız bir önermesidir.

1966 Fields Madalyası

Cohen 32 yaşında Fields Madalyası kazandı (1966, Moskova Kongresi). Gerekçesi:

"Süreklilik hipotezi ve seçim aksiyomunun ZFC bağımsızlığını kanıtlamak için forcing tekniğini icat etmesi."

Bu, küme teorisinden Fields Madalyası alan tek matematikçidir (Fields Madalyası genellikle geometri/topoloji/analiz alanlarına verilir).

Forcing tekniği: kalıcı miras

Forcing modern küme teorisinin en güçlü aracı'dır. Cohen'den sonra:

• Saharon Shelah (İsrailli) ve diğerleri forcing'i geliştirdi.
• Büyük kardinal aksiyomları'nın bağımsızlık sonuçları forcing ile kanıtlandı.
• Forcing aksiyomları modern küme teorisinin merkezindedir.

Bugün küme teorisi araştırmasının çoğu forcing tekniğinin varyantlarına dayanır.

Diğer çalışmalar

Cohen sadece küme teorisi değil, başka alanlarda da çalıştı:

Reel analiz

P-adik sayılar ve harmonik analiz üzerine erken çalışmaları.

Sayı teorisi

Riemann hipotezi ile ilişkili çalışmalar.

Fizik felsefesi

Yaşamının son yıllarında matematiksel fizik ve kuantum mekaniği yorumları üzerine düşündü.

Stanford'da öğretmen

Cohen Stanford'da mükemmel bir öğretmendi. Derslerinde:

• Karmaşık fikirleri sade örneklerle anlatma.
• Öğrencileri kendi düşünmeye teşvik etme.
• Açık problemleri aktif olarak araştırmaya çekme.

Onlarca doktora öğrencisi yetiştirdi; pek çoğu sonradan büyük matematikçiler oldu.

Kişilik

Cohen'i tanıyanlar onu "alçakgönüllü dahi" diye nitelendirdi. Fields Madalyası kazanmasına rağmen sade bir yaşam sürdü. Aile hayatına çok bağlıydı (eşi Christina ile; üç çocukları oldu).

Müziğe ilgisi büyüktü — özellikle klasik piyano. Stanford'da arkadaşları onun "matematik ve müziği aynı sıklıkta" yaşadığını söyler.

Hayatın trajik anı: sağlık sorunları

Cohen 2007 yılı başında akciğer kanseri teşhisi aldı. 23 Mart 2007'de Stanford Hastanesi'nde 72 yaşında öldü.

Cenazesinde Stanford ve dünya matematik camiası, Mirzakhani, Tao dahil onlarca büyük figür yer aldı. The New York Times ölümünü "modern matematiğin trajik bir kaybı" diye duyurdu.

Mirası

Paul Cohen'in matematikteki yeri eşsizdir:

• Süreklilik hipotezi bağımsızlığını kanıtlayan kişi — Hilbert'in 1. problemini çözdü.
• Forcing tekniğinin mucidi — modern küme teorisinin en güçlü aracı.
• Küme teorisinden Fields Madalyası alan tek matematikçi.
• Stanford'da 46 yıl mentor; onlarca öğrenci yetiştirdi.

Modern küme teorisi onun adıyla başlar ve onun tekniğiyle ilerler. Aksiyomlara dayalı matematiğin nasıl kendi sınırlarını gösterebileceğinin somut örneğini verdi.

"Matematik kendi sınırlarını gösterir"

Gödel'in eksiklik teoremleri 1931'de matematiğin karar verilemez önermelere sahip olduğunu söylüyordu. Bu soyut bir sonuçtu. Cohen 1963'te bu soyutluğu somut hale getirdi: işte tam karar verilemez bir önerme — süreklilik hipotezi.

Hilbert'in 100 yıllık birinci sorusunun cevabı: "Cevap yoktur." Çocukluğunda kimsenin tanımadığı bir Brooklyn çocuğu, 30'lu yaşlarında modern matematiğin en derin sınırlarından birini çizdi.

Paul Cohen, matematiğin alçakgönüllü olması gerektiğini matematiksel olarak kanıtladı. Bu, herhangi bir teoremden daha derin bir derstir.