Poisson Dağılımı: Nadir Olayların Matematiği

Bir saatte kaç çağrı?

Bir çağrı merkezi yöneticisi şu soruyla karşılaşır: "Saatte ortalama 12 çağrı geliyor. Bir saatte tam olarak 15 çağrı gelme olasılığı nedir?" Veya: "Hiç çağrı gelmemesi ne kadar olası?"

Bu sorulara cevap veren matematiksel araç: Poisson dağılımı.

Bir dönemde ortalama $\lambda$ olay gerçekleşiyorsa, tam $k$ olay gerçekleşme olasılığı:

$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

Bu formül modern olasılık ve istatistikte en sık karşılaşılan denklemlerden biri.

Pratik örnekler

$\lambda = 12$ (ortalama saatte 12 çağrı) için bazı değerler:

$k$ (çağrı sayısı)	$P(X=k)$
0	$e^{-12} \approx 6 \times 10^{-6}$
5	$\approx 0.0127$
10	$\approx 0.1048$
12	$\approx 0.1144$ (en olası)
15	$\approx 0.0724$
20	$\approx 0.0097$
30	$\approx 8 \times 10^{-6}$

Yani ortalama 12 olduğu için 12 etrafında olasılık tepe yapar; bazen 5-20 arası dalgalanma sıradır; 0 veya 30 olası değildir ama imkânsız da değildir.

Prusya ordusu ve atlar

Poisson dağılımının en ünlü erken uygulaması garip bir hikâyedir.

1898'de Rus istatistikçi Ladislaus Bortkiewicz yayımladığı "Das Gesetz der kleinen Zahlen" (Küçük Sayılar Yasası) eserinde, Prusya ordusunun 1875-1894 arası 20 yıllık 14 süvari biriminin verilerini inceledi. Her birim, her yıl: kaç asker at tarafından tekmelenip öldü?

Toplam 280 yıl-birim gözlem. Sonuç:

Yıllık ölüm sayısı	Gözlenen yıl-birim sayısı	Poisson tahmini
0	144	139.0
1	91	97.3
2	32	34.1
3	11	8.0
4	2	1.4

Poisson tahmini gözlemle olağanüstü uyumlu. "At tekmesinden ölüm" gibi tamamen rastgele ve nadir bir olay, mükemmel bir Poisson süreciydi.

Bu örnek istatistik ders kitaplarında klasik bir referans haline geldi: Poisson dağılımı garip olayları bile doğru tahmin eder.

Niye bu formül?

Poisson dağılımının matematiksel kökeni: Bir aralığı çok sayıda küçük parçaya bölün; her parçada olay olma olasılığı çok küçük olsun. Tüm olaylar bağımsız, her parçanın eşit olasılığı olsun.

Bu, binom dağılımının limiti'dir. $n \to \infty$, $p \to 0$, $np = \lambda$ sabit kalırsa:

$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \to \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

Yani Poisson dağılımı, nadir olayların seyrek limiti. Bu, Poisson süreçlerinin niçin doğada bu kadar yaygın olduğunu açıklar.

Poisson sürecinin koşulları

Bir olay dizisi Poisson sürecine uyması için:

1. Bağımsızlık: Bir aralıkta gerçekleşen olay sayısı, başka aralıkta gerçekleşen olayları etkilemez.
2. Sabit hız: Olayların ortalama hızı zamanda sabit ($\lambda$).
3. Tekillik: İki olay aynı anda olmaz.

Bu koşullar sağlanırsa, herhangi bir zaman aralığında olay sayısı Poisson dağılır.

Uygulamalar

Poisson dağılımı modern bilimin her köşesinde:

1) Telekomünikasyon

Telefon çağrıları, internet paketleri, ağdan geçen istekler — Poisson süreçleridir. Kuyruk teorisi'nin temel modeli.

2) Biyoloji

DNA mutasyonları, hücre bölünmeleri, ölümler. Radyoaktif bozunma: belirli zamanda kaç atom bozulur? Poisson.

3) Finans

Kredi kartı dolandırıcılığı, dolandırıcılık olayları, büyük hisse senedi düşüşleri.

4) Sigorta

Belirli bir dönemde kaç hasar talebi gelir? Aktüerya hesaplarının temeli.

5) Kara kutu istatistikleri

Bir günde hipertansif krize giren hasta sayısı, hastane acil servisi planlaması.

6) Astronomi

Belirli bir alanda gözlenen yıldız sayısı (eşit dağılımlı gökyüzü için).

7) Web analitiği

Bir saniye içinde web sitesine gelen ziyaretçi sayısı.

Poisson süreci ve üstel dağılım

Poisson süreci bir olay dizisidir: olayların ne zaman olduğunu söyler. Bu sürecin önemli bir özelliği:

İki ardışık olay arasındaki zaman, üstel dağılır.

$P(\text{bekleme süresi} > t) = e^{-\lambda t}$

Bu "hafıza yok" özelliği taşır: ne kadar süredir bekliyorsanız bekleyin, kalan beklemenin dağılımı değişmez. Anormal görünüyor ama matematiksel gerçek.

Siméon Denis Poisson

Dağılımın adı Fransız matematikçi Siméon Denis Poisson'a (1781-1840) aittir. Poisson 1837'de yayımladığı "Recherches sur la probabilité des jugements" (Yargıların Olasılığı Üzerine Araştırmalar) eserinde dağılımı tanıttı.

İronik: Poisson asıl olarak jürilerin yargılarındaki hataların olasılığını modellemek için kullanmıştı. O zamanda popüler olmadı. Bortkiewicz'in at tekmesi çalışması ondan 60 yıl sonra dağılımı yeniden ünlü hale getirdi.

"Garip ama yararlı"

Poisson dağılımının matematiksel zarafeti: tek bir parametre ($\lambda$, ortalama). Diğer dağılımlar (normal, gamma, vs.) genellikle iki veya daha çok parametre gerektirir.

Eğer:

• Olaylar bağımsız
• Olaylar nadir
• Ortalama hız sabit

ise Poisson modeli mükemmel iş çıkarır.

Bir kafenin bir gündeki müşteri sayısından, bir gökadanın etrafındaki yıldız dağılımına kadar — aynı sade formül evrenin gizli düzenini açar: $\lambda^k e^{-\lambda}/k!$.