Richard Dedekind: Reel Sayıları Sıfırdan İnşa Eden Sessiz Kahraman

Gauss'un son öğrencisi

Julius Wilhelm Richard Dedekind 6 Ekim 1831'de Braunschweig (Almanya, Aşağı Saksonya) doğdu. Şehrin Collegium Carolinum'unda — ileride teknik üniversiteye dönüşecek — eğitim aldı. 19 yaşında Göttingen'e gitti; 1852'de Carl Friedrich Gauss'un son doktora öğrencisi oldu. Tezi eliptik integraller üzerineydi; Gauss "memnun edici" notu verdi (Gauss'tan beklenen yüksek puan).

Dedekind'in Göttingen'deki diğer öğretmenleri Dirichlet ve Riemann'dı. Dirichlet ona sayılar teorisini sevdirdi; Riemann ile yakın arkadaş oldu. Riemann'ın 1859 zeta hipotezi makalesini ölümünden sonra düzenleyip yayımlayan Dedekind'di — ona borçluyuz bu metnin bugüne ulaşmasını.

Sessiz bir kariyer

Dedekind Zürih Polytechnikum'da (1858-1862) ders verdi, sonra doğduğu şehre döndü. Braunschweig'da 32 yaşından 85 yaşında ölümüne kadar — 53 yıl — teknik okulda öğretmenlik yaptı. Berlin, Göttingen, Halle gibi büyük üniversitelerden teklif geldi; hepsini reddetti. Sessiz, anneanne ile birlikte yaşayan bir bekâr olarak Braunschweig'da kaldı.

Ana mesleği öğretmenlik, gerçek mesaisi geceleyin yazdığı 100'den fazla makaleydi.

Dedekind kesitleri (1872)

1858'de Zürih'te kalkülüs dersi verirken Dedekind bir boşluk hissetti: öğrencilere $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$ gibi sayıları öğretiyordu ama "reel sayı nedir?" sorusunun matematiksel cevabı yoktu. Newton ve Leibniz'den beri kalkülüs iyi tanımlanmamış bir reel sayı kavramı üzerine kuruluydu.

14 yıl sonra, 1872'de Dedekind şu zarif çözümü yayımladı (Stetigkeit und irrationale Zahlen — "Süreklilik ve İrrasyonel Sayılar"):

Bir reel sayı, rasyonel sayılar kümesinin özel bir bölünmesidir.

Daha kesin: rasyoneller kümesi $\mathbb{Q}$'yu iki boş olmayan parçaya ($A, B$) ayırın:

• $A \cup B = \mathbb{Q}$
• $A$ ve $B$ ayrık
• $A$'daki her sayı $B$'deki her sayıdan küçük
• $A$'nın en büyük elemanı yok

İşte bu $(A, B)$ çiftine Dedekind kesiti denir. Eğer $B$'nin en küçük elemanı varsa kesit bir rasyonel sayıyı temsil eder; yoksa irrasyonel bir sayıyı.

Örnek: $\sqrt{2}$ kesiti: $A = \{x \in \mathbb{Q} : x \leq 0 \text{ ya da } x^2 < 2\}$, $B$ = kalan. $B$'nin en küçük rasyonel elemanı yoktur (çünkü $\sqrt{2}$ rasyonel değil), ama bu boşluk bir reel sayıyı tanımlar.

Reel sayılar = Dedekind kesitlerinin kümesi. Aritmetik ve sıra rasyonellerden tanımlanarak inşa edilir; süreklilik aksiyomu artık tanımın parçası.

Doğal sayıların aksiyomatizasyonu (1888)

Was sind und was sollen die Zahlen? — "Sayılar Nedir ve Ne İşe Yarar?" — Dedekind'in en felsefi eseri. Doğal sayıları küme teorisi ve fonksiyon dilinde tanımladı:

• Bir küme $N$, bir öğesi $1$, bir fonksiyon $\sigma: N \to N$ (ardıl).
• $1 \notin \sigma(N)$ (1, hiçbir sayının ardılı değil).
• $\sigma$ injektif (farklı sayıların ardılları farklı).
• Tümevarım: $1$'i içeren ve $\sigma$ altında kapalı tek alt küme $N$'in kendisi.

Bu Dedekind-Peano aksiyomları. Peano bunları 1889'da bağımsız geliştirdi ve isim ona yapıştı, ama Dedekind bir yıl öncedir.

İdeal teorisi (1871)

Kummer "ideal sayılar" kavramını cebirsel sayı teorisinde tanıtmıştı ama tanımı bulanık ve hesap-yoğundu. Dedekind 1871'de modern ideal kavramını verdi: bir halka $R$'de toplam ve halka çarpımı altında kapalı bir alt küme $I$.

Bu tanım modern soyut cebrin temel taşı oldu. Ana ideal, asal ideal, maksimal ideal — hepsi Dedekind'in icadı. Dedekind'in 1871 makalesi Dirichlet'in Sayılar Teorisi Dersleri'nin 10. ek (Supplement X) olarak çıkmıştır; bu ek başlı başına soyut cebrin doğum belgesidir.

Asal çarpanlara tek ayrılma'nın cebirsel sayı halkalarında bozulduğunu (örneğin $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$'te $6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$) ama ideallerin çarpanlarına ayrılmasının her zaman tek olduğunu gösterdi. Bu, Fermat'nın Son Teoremine giden yolu cebirleştirdi.

Dedekind halkası, Dedekind eta fonksiyonu...

• Dedekind halkası: sayı teorisinin doğal cebirsel ortamı. Her sıfırdan farklı ideal asal ideallere tek ayrılır.
• Dedekind eta fonksiyonu $\eta(\tau)$: modüler formların temel taşlarından. Bugün string teorisinde ve bölünme fonksiyonu asimptotiklerinde karşımıza çıkar.
• Dedekind toplamları: sayı teorisi ve topoloji arasında köprü.
• Dedekind sonsuz küme: sonsuzluğun bir tanımı.

Ölüm ve ironi

Dedekind 12 Şubat 1916'da Braunschweig'da öldü. 85 yaşında. İlginç bir not: 1899'da matematik takvimi onu ölü olarak listelemişti. Dedekind yayıncıya bir mektup gönderip "doğru olabilir bir gün için ama bugün için değil; ben hâlâ hayatımı sürdüren bir öğretmenim" diye düzeltme istedi.

Miras

Dedekind, matematik mimarlarının prototipidir: yeni bir teorem kanıtlamak yerine, eski teoremlerin altındaki yapıyı görünür kıldı. Reel sayıların, doğal sayıların, ideallerin "tanımı" çağında olağan değildi. Bugün her matematik dersi onun çatısı üzerine konuşur.

Einstein onun hakkında demişti: "Dedekind bizden önce dünyaya geldi; biz hâlâ onun matematik mirasından besleniyoruz." Bourbaki onu modern matematiğin gerçek babası olarak gördü.

Braunschweig'da tek başına yaşadı, evlenmedi, ün peşine düşmedi. Tüm yaptığı, kalkülüsün altına bir zemin koymaktı — ve modern matematiğin yarısı bu zemin üzerinde yükseliyor.