Saunders Mac Lane: Eilenberg ile Birlikte Modern Matematiğin Dilini İcat Eden Adam

Connecticut çocuğu, Yale'e

Saunders Mac Lane 4 Ağustos 1909'da Connecticut'ın Taftville kasabasında bir Çocuk Edebiyatı yazarının oğlu olarak doğdu. Annesi öğretmendi. Yedi kardeşli ailenin en parlak çocuğuydu.

1926'da Yale Üniversitesi'ne girdi; öncelikle kimya okumak istedi ama bir matematik dersi onu çevirdi. 1930'da mezun, Chicago Üniversitesi'nde lisansüstü, sonra Göttingen'e geçti (1931-1933). Almanya'da Hilbert'in, Emmy Noether'in, Hermann Weyl'in derslerine girdi.

Paul Bernays yönetiminde mantık doktorası aldı (1934). Nazi rejiminin yükselişiyle Almanya'dan ayrıldı; Yale'e, Harvard'a, Cornell'a ders verdi.

Harvard ve savaş yılları

1938-1947 arasında Harvard'da öğretim üyesiydi. İkinci Dünya Savaşı sırasında Applied Mathematics Group'ta çalıştı (Columbia'da); silah balistiği için sayısal yöntemler geliştirdi.

Bu yıllarda Samuel Eilenberg (1913-1998) ile tanıştı. Polonyalı topolog Eilenberg, savaştan kaçarak ABD'ye gelmiş, Princeton'da çalışıyordu. İki adam farklı sorular üzerinde çalışıyordu ama aynı yapıya farklı yönlerden yaklaşıyorlardı.

Kategori teorisinin doğuşu (1945)

1945'te Mac Lane ve Eilenberg birlikte yayımladılar: General Theory of Natural Equivalences — kategori teorisinin doğum belgesi.

Sorunları neydi? Topolojide homoloji ve kohomoloji denilen operatörler vardı; bunlar bir topolojik uzayı bir gruba dönüştürüyordu. Farklı homoloji teorileri vardı (Čech, singular, simpliciyel) ve bunlar arasında "doğal" geçişler vardı. Ama "doğal" ne demek? Matematiksel olarak tanımlanmamıştı.

Mac Lane-Eilenberg cevabı: kategori, fonktör, doğal dönüşüm.

Kategori: nesneler kümesi + nesneler arası morfizmler + bileşke + birim. Örnek: gruplar kategorisi, topolojik uzaylar kategorisi, halkalar kategorisi.

Fonktör: bir kategoriden başka birine yapı koruyan harita. Nesneleri nesnelere, morfizmleri morfizmlere taşır. Örnek: temel grup fonktörü $\pi_1$ — topolojik uzayları gruplara taşır.

Doğal dönüşüm: iki fonktör arasında, tüm nesneler için tutarlı bir geçiş.

Bu üç kavramla, "doğal eşdeğerlik" matematiksel kesin oldu. Daha önce sezgisel bir terim, artık tanımlı bir nesne.

Çağdaşlar başlangıçta şüpheli

Mac Lane sonradan anlatıyor: 1940'lar-1950'ler matematik dünyası kategori teorisini "boş soyutlama" olarak gördü. "General nonsense" — "genel saçmalık" — terimi bu yıllarda doğdu (ironik biçimde, bugün hâlâ kullanılır).

Ama Grothendieck'in 1957'deki Tôhoku makalesi (cebrik geometride sheaf kohomolojisi) ve sonra EGA ve SGA seminerleri kategori teorisini cebrik geometrinin tek dili yaptı. 1960'lardan itibaren her sahada vazgeçilmez oldu.

"Categories for the Working Mathematician" (1971)

Mac Lane'in 1971'deki klasiği — kısaca CWM — kategori teorisinin standart ders kitabı. Açılış cümlesi efsanevi:

"Category theory has developed rapidly in recent years. This book aims to present the basic concepts and theorems in a clear way for any mathematician."

CWM bugün hâlâ her doktora öğrencisinin masasında. Yoneda lemması, sınırlar (limits), kolimitler, adjoint fonktörler, monoidal kategoriler — hepsi orada sunulur. Mac Lane'in berrak yazı stili — tane tane, formaliteyle sezgi dengeli — onu sevilen bir yazar yaptı.

Chicago Üniversitesi (1947-1982)

1947'de Mac Lane Chicago Üniversitesi'ne döndü; ölümüne kadar (1982'de emekli) orada kaldı. Chicago Matematik Bölümünü dünya markası yaptı; Maclane okulu olarak bilinen, soyut cebir + topoloji + matematiksel mantık geleneğinin başında durdu.

Öğrencileri arasında John G. Thompson (Fields madalyalı sonlu grup teorisyeni), Steven Lubkin, Anders Kock ve yüzlerce başka isim var.

Mac Lane'in diğer çalışmaları

• Garrett Birkhoff ile yazdığı A Survey of Modern Algebra (1941) — 20. yüzyılda soyut cebrin ABD'deki popülerleşmesini sağladı. Hâlâ standart bir ders kitabı.
• Cebirsel topoloji: spektral diziler, kohomoloji teorisi katkıları.
• Mantık: tip teorisi, Hilbert programının daha sonraki yorumları.
• Eğitim politikası: ABD'de matematik öğretiminin reformu için aktif görüş bildirdi.

Eilenberg ortak çalışması

Eilenberg ile yıllar boyunca dostluk ve işbirlikleri sürdü. 1956'da iki adam homolojik cebir üzerine bir başka klasik yazdı: Homological Algebra (Cartan ile birlikte). Bu kitap, daha sonraki Grothendieck çağının altyapısını kurdu.

Eilenberg 1998'de öldü; Mac Lane onun cenazesinde konuştu, "Sam ile birlikte bütün bir dil yarattık" dedi.

Yaşam ve kişilik

Mac Lane uzun ömürlü oldu — 96 yaş. 2 Temmuz 2005 San Francisco'da öldü. Eşi Dorothy Jones ile uzun yıllar evli kaldı; iki kızı vardı.

Kendisi açık, dürüst, biraz alışılmadık biriydi. Akademik politikada güçlü pozisyonlar aldı; matematik öğretiminin reformunda Amerikan Matematik Topluluğu'nun başkanlığını yaptı (1973-1974).

Bourbaki ile farklılık

Fransız Bourbaki grubu da soyutlamayı seviyordu ama farklı bir tarz: Mac Lane somut örneklerle dengelemeyi tercih ederken Bourbaki tam soyutluğa gitti. Mac Lane Bourbaki'nin "yazı stilini" eleştirirdi: "Onlar İncil yazıyor; ben ders kitabı yazıyorum."

Etki

Kategori teorisi bugün:

• Cebrik geometri (Grothendieck, Deligne, Lurie)
• Cebrik topoloji (modeled kategoriler, ∞-kategoriler)
• Bilgisayar bilimi (tip teorisi, fonksiyonel programlama — Haskell, OCaml)
• Matematik fiziği (TQFT, kuantum kategorileri)
• Mantık (topoz teorisi, kategorik mantık)
• Veri bilimi (functorial data migration — yeni alan)

Yapay zeka modelleri bile son yıllarda kategori-teorik bakışla anlatılmaya başlandı (Hochschild kohomoloji, optik kategoriler).

Sonuç

Mac Lane'in mirası: matematiğin kendi yapısı hakkında düşünebileceği bir dil. Önce küçümsendi, sonra her şeyin altyapısı oldu.

"General nonsense" dediği şey, çağımızın en yararlı genel söylemine dönüştü. Bir dil yarat; yeterince güzel ve yararlıysa, kullanılır.