SIR Modeli: Bir Salgının Hızını ve Sonunu Üç Basit Denklemle Açıklamak

2020 yılı, mart. Dünya, COVID-19'un getirdiği şokun ortasında. Haberlerde günlük vaka sayıları, "üstel büyüme", "eğriyi düzleştirmek", "R₀ sayısı", "sürü bağışıklığı" gibi yeni terimler her gün karşımıza çıkıyordu. Bu terimlerin hepsi, aslında neredeyse bir asır önce yazılmış matematiksel bir modele dayanıyordu: SIR modeli.

1927'de İskoçya'da, kimyager William Kermack ve hekim Anderson McKendrick, "Royal Society of London Proceedings" dergisinde yayımladıkları bir makalede, bir salgının dinamiklerini üç sade diferansiyel denklemle yazdı. Bu model, COVID-19'dan grip salgınlarına, kuduzdan kızamığa kadar düzinelerce gerçek dünya senaryosuna uyarlanır.

Bugün epidemiyolojinin temel taşı SIR modelidir. Sade matematik dili ile derin gerçek dünya öngörüleri verir.

Üç sınıf, üç denklem

Modelin temel fikri sadedir. Bir popülasyonu üç gruba ayıralım:

• S (Susceptible / Duyarlı): Hastalığa henüz yakalanmamış ama yakalanabilecek kişiler.
• I (Infected / Enfekte): Şu anda hastalığı taşıyan ve bulaştırabilen kişiler.
• R (Recovered ya da Removed / İyileşmiş ya da Kaldırılmış): Hastalığı geçirmiş ve artık bulaştıramayan veya ölmüş kişiler. Modelde "kaldırılmış"tır; bağışıklık ya da ölüm.

Toplam popülasyon $N = S + I + R$ sabittir (model en sade halinde doğum-ölüm dinamiğini ihmal eder).

Zamanla bu üç grup nasıl değişir? Üç diferansiyel denklem:

$\frac{dS}{dt} = -\beta \frac{S \cdot I}{N}$

$\frac{dI}{dt} = \beta \frac{S \cdot I}{N} - \gamma I$

$\frac{dR}{dt} = \gamma I$

Buradaki iki temel parametre:

• $\beta$ (beta): Bulaşma hızı. Bir enfekte kişi birim zamanda kaç kişiyle "etkin temas" kurar.
• $\gamma$ (gamma): İyileşme hızı. Bir enfekte kişi ne kadar sürede iyileşip (ya da ölüp) bulaşıcılığını yitirir. Eğer hastalık ortalama 5 gün sürerse, $\gamma = 1/5 = 0{,}2$.

Mantığı şudur: $S$ azalır (insanlar enfekte olur); $I$ önce artar (yeni enfekteler eklendiği için), sonra azalır (iyileşmeler arttıkça); $R$ sürekli artar.

R₀: ünlü "temel üreme sayısı"

SIR modelinin en bilinen çıktısı, R₀ (R-sıfır) denilen sayıdır. Tanımı:

$R_0 = \frac{\beta}{\gamma}$

Anlamı sezgisel: tamamen duyarlı bir popülasyonda bir enfekte kişi, ortalama kaç kişiye hastalığı bulaştırır. Eğer:

• $R_0 < 1$: salgın sönmeye eğimlidir; hastalık yayılamaz.
• $R_0 = 1$: salgın kararlı; ne büyür ne küçülür.
• $R_0 > 1$: salgın büyür; üstel artış.

Bazı hastalıklar için tipik R₀ değerleri:

• Kızamık: 12–18 (en bulaşıcı bilinen insan hastalıklarından)
• Suçiçeği: 10–12
• Çocuk felci: 5–7
• COVID-19 (orijinal): 2–3
• COVID-19 Omicron varyantı: 8–10
• Mevsimsel grip: 1–2
• Ebola: 1,5–2,5
• HIV: 2–5 (çok yavaş bir hastalık, bu sayılar onlarca yıl üzerinden)

R₀ yüksekse, salgın hızla yayılır; küçükse yavaş.

Sürü bağışıklığı eşiği

R₀'dan çıkan en önemli pratik sonuç sürü bağışıklığı eşiğidir. Eğer popülasyonun yeterince büyük bir kısmı bağışıkysa (aşı yoluyla ya da iyileşme sonrası), salgın yayılamaz. Bunun matematiksel koşulu:

$\text{Bağışıklık eşiği} = 1 - \frac{1}{R_0}$

Yani:

• Kızamık ($R_0 = 15$): popülasyonun %93'ü bağışık olmalı.
• COVID-19 Omicron ($R_0 = 9$): yaklaşık %89'u.
• Grip ($R_0 = 1{,}5$): yaklaşık %33'ü.

Bu, neden kızamık aşılama oranlarının %95'in üzerinde tutulmaya çalışıldığını açıklar. Birkaç yüzde puanlık aşı reddi bile salgın patlamalarına yol açabilir.

Üstel başlangıç, lojistik tepe

Salgının ilk anlarında ($S \approx N$ ve $I$ küçük), denklem yaklaşık olarak şu hâle gelir:

$\frac{dI}{dt} \approx (\beta - \gamma) I$

Bu, üstel büyüme demektir: $I(t) \sim e^{(\beta - \gamma) t}$. Yani salgın başında günlük vaka sayıları her birkaç günde ikiye katlanır.

Ama $S$ azaldıkça (popülasyonun büyük kısmı enfekte oldukça), büyüme yavaşlar; tepe noktasına gelir; sonra düşer. Toplam eğri lojistik benzeri bir şekil çizer. "Eğriyi düzleştirmek" deyimi tam burayı kasteder: $\beta$'yı azaltarak (sosyal mesafe, maske, izolasyon) salgının tepesini düşürür, sağlık sistemini koruyup zamanı uzatırsınız.

Salgının "ulaşılamayan eşiği"

İlginç bir matematiksel sonuç: SIR modelinde salgın herkesi enfekte etmez. Salgın sona erdiğinde popülasyonun bir kısmı (genelde küçük ama sıfır olmayan) hiç enfekte olmadan kalır. Matematiksel olarak bu, son duyarlı sayısı $S_\infty$'in çözümüyle bulunur:

$S_\infty = N \cdot e^{-R_0 (1 - S_\infty/N)}$

R₀ = 2 için bu denklem $S_\infty/N \approx 0{,}20$ verir — yani popülasyonun yaklaşık %20'si hiç enfekte olmadan salgın söner. R₀ = 5 için bu sayı çok küçülür (%0,7), neredeyse herkes enfekte olur.

Sınırlar ve geliştirmeler

SIR modeli sadece bir "ilk yaklaşım"tır. Birçok varsayım gerçek dünyada doğru değildir:

• Popülasyon homojen değildir (yaş, mekân, sosyal davranış farkları).
• Bulaşma sabit değildir; mevsim, davranış değişiklikleri etkili.
• Bağışıklık kalıcı olmayabilir.
• Doğum, ölüm, göç ihmal edildi.

Bu sınırları aşmak için pek çok genelleme yapılmıştır:

• SIRS modeli: Bağışıklık zamanla kaybolur; $R$'den $S$'ye geri akış vardır.
• SEIR modeli: Enfekte olup henüz bulaştıramayan "Exposed" sınıfı eklenir.
• Ağ tabanlı modeller: Popülasyon, bireylerin temas ağları üzerinden modellenir.
• Stokastik modeller: Olasılıksal etkiler (özellikle salgın başında ya da küçük popülasyonlarda kritik).
• Yaş-yapılı modeller: Aşılama önceliği gibi politika kararları için.

Modern epidemiyolojide kullanılan modeller (örneğin Imperial College'in COVID-19 modeli), SIR'in çok karmaşık torunlarıdır; ama temel mantığı hep aynıdır.

COVID-19 ve halk sağlığı

COVID-19 sırasında SIR modeli politika kararlarının matematiksel altyapısı oldu. "Lockdown ne kadar etkili olur?", "Aşı kampanyası ne kadar hızlı olmalı?", "Yeni varyant ne zaman tepe yapar?" sorularına model tabanlı tahminler verdi.

Bu modeller mükemmel değildi — bazı tahminler ciddi şekilde yanılmıştı; bazı modeller iyi vurgu yapmıştı. Ama yine de model olmayan bir dünyada ne yaptığını bilmek imkânsız olurdu. SIR ve torunları, modern halk sağlığının olmazsa olmaz araçlarıdır.

Bir hayat dersi

SIR modeli, karmaşık dinamiklerin basit kurallardan doğabileceğinin matematiksel olarak en güzel örneklerinden biridir. Üç değişken, iki parametre, üç denklem — ve bir salgının başlangıcından sonuna tüm dinamiği yakalayabiliyorsunuz.

Bir hastalık modellemesi ne kadar zor olursa olsun, sade bir Kermack-McKendrick formülasyonundan başlamak, doğru sorular sormak için iyi bir çerçevedir. Matematik, hayatın belirsizliklerini kaldırmaz; ama onları anlaşılır kategorilere ayırmak için bizimle kalır.

Bir sonraki sefer haberlerde "R-sıfır" ya da "eğriyi düzleştirmek" duyduğunuzda, 1927'de İskoçya'da yazılmış üç sade diferansiyel denklemin hâlâ dünyaya nasıl yön verdiğini hatırlayabilirsiniz.