Thomas Bayes: Ölümünden Sonra Çekmecesinden Çıkıp Modern Dünyayı Değiştiren Bir Rahip

Bilim tarihinde "ölümünden sonra ünlü olmak" diye bir kategori vardır. Bu kategorinin en sade ve en büyük temsilcilerinden biri Thomas Bayes'tir. 1761'de Londra yakınlarındaki küçük bir kasabada öldüğünde, ardında ne ünlü bir teorem ne büyük bir okul ne de bir bilim eseri bıraktı. Hayatında iki kitap yayımlamıştı; biri din üzerine, biri de Newton'un kalkülüsünü savunan bir teknik metindi. Matematiksel olasılık üzerine yayımladığı hiçbir şey yoktu.

Ama Bayes öldükten iki yıl sonra dostu Richard Price, papazın kişisel notları arasında bir el yazmasını buldu. Adı uzun ve sade idi: "An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances" — "Şans Doktrinindeki Bir Problemi Çözmek Üzerine Bir Deneme". Price, yazıyı Kraliyet Cemiyeti'ne sundu (1763) ve 1764'te basıldı. Bayes, kendi eserinin ne hakkında olduğunu bile öğrenemeden ölmüştü.

Bu küçük yazı, bugün Bayes teoreminin ve onunla beraber gelen tüm "bayesyen düşünme" geleneğinin kaynağıdır. Modern istatistik, yapay zekâ, tıbbi karar verme ve hatta hukuk delili değerlendirmesi, hâlâ onun çekmecesinde bulunan o formülün izini taşır.

Sessiz bir hayat

Thomas Bayes, yaklaşık 1701'de Londra'da, varlıklı bir Presbiteryen ailenin oğlu olarak doğdu. Babası Joshua Bayes da din adamıydı; ülkenin ilk altı atanmış Presbiteryen bakanından biriydi.

O dönem İngiltere'de Anglikan kilisesine bağlı olmayan kişiler (yani "non-conformist" denilen Presbiteryenler ve diğerleri) Oxford ve Cambridge gibi büyük üniversitelere kabul edilmiyordu. Bu yüzden Thomas, Edinburgh Üniversitesi'nde okudu (İskoçya'da Presbiteryenlere kapı açıktı). Mantık ve teoloji eğitimi aldı, matematik üzerine de kendi başına çok ileri seviyeye geldi.

1720'lerde babasının yanında papazlık görevine başladı. 1733'te kasaba Tunbridge Wells'in Mount Sion Şapeli'ne atandı; ölümüne kadar (1761) bu küçük cemaatin papazı olarak yaşadı. Yaşamı dışarıdan bakıldığında sıkıcıdır: bir rahip, küçük bir kasabada, otuz yıl boyunca vaaz veriyor.

Tek bilinen matematik eseri (sağlığında)

1736'da, anonim olarak (ya da kısa imzayla) İngiltere'de Newton'un kalkülüsünü savunan teknik bir kitap yayımladı. Adı: An Introduction to the Doctrine of Fluxions. O dönemin tartışması olan "kalkülüs gerçekten kesin midir, yoksa George Berkeley'in dediği gibi 'kaybolan büyüklüklerin hayaletleriyle' mi çalışıyor?" sorusuna yanıt veriyordu. Eser teknik açıdan iyiydi; Bayes'in matematiksel yeterliliğinin Kraliyet Cemiyeti üyeliğine seçilmesine (1742) yetecek kadar bilinmesini sağladı. Ama ne bir devrim ne de geniş bir takipçi oluşturdu.

Sonra dolaba kondu.

Ardındaki gizli problem

Bayes, son yıllarında daha derin bir soruyla uğraşmıştı: "Bir olayın olasılığını, sonuçlardan geriye doğru nasıl tahmin edebiliriz?"

Klasik olasılık (Pascal, Fermat, Huygens, De Moivre) düz bir yön çalışır: koşullar verili, sonuçların olasılığı ne? "Adil zarın 6 gelme olasılığı $1/6$." Sade.

Bayes ise tersine soruyor: "Sonuçları gördüm; koşulların ne olduğu hakkında ne söyleyebilirim?" Mesela: "Bir madeni para 10 kez attım, 8'i yazı geldi. Bu paranın hileli (yazı taraflı) olma olasılığı nedir?"

Bu, modern dilde çıkarımsal istatistikin (inferential statistics) temel sorusudur. Bayes onu sade bir geometrik düşünce deneyiyle çözmeye girişti.

Bayes'in masa örneği

Bayes'in orijinal yazısında düşündüğü mekanik şu kadar sadeydi (basitleştirelim): Düz, dikdörtgen bir masa düşünün. Birisi gözleriniz kapalıyken masaya bir top atıyor, top rastgele bir yere düşüp duruyor. Topun yerini bilmiyorsunuz. Sonra masaya başka toplar atılıyor; her birinin ilk topun "soluna" mı "sağına" mı düştüğü size söyleniyor. Soru: bu bilgiyle, ilk topun konumunu nasıl tahmin edersiniz?

Bayes, her yeni gözlemden sonra ilk topun konumu üzerindeki olasılık dağılımının nasıl güncelleneceğini gösterdi. Bu güncelleme kuralı, modern formda tek satırlık ünlü teoremdir:

$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \, P(A)}{P(B)}$

Burada:

• $P(A)$ — gözlemden ÖNCE bizim "$A$ olayının olasılığı" hakkındaki tahminimiz (önsel / prior).
• $P(B \mid A)$ — eğer $A$ doğruysa, gözlem $B$'nin görülme olasılığı (olabilirlik / likelihood).
• $P(B)$ — $B$ gözleminin toplam olasılığı (normalize edici).
• $P(A \mid B)$ — gözlemden SONRA $A$ hakkındaki güncellenmiş tahminimiz (sonsal / posterior).

Bayes'in masada attığı topları izlerken yaptığı şey, gözlemden gelen yeni delillere göre ön-bilgisini güncellemekti. Bu basit fikir, rasyonel öğrenmenin matematiksel modeli oldu.

Niçin "devrim"?

Bayes'in eseri yayımlandığında, hemen büyük bir ilgi görmedi. Onun gerçek değerini gören kişi, daha sonra Fransa'da Pierre-Simon Laplace oldu. Laplace, Bayes teoreminin modern formunu bağımsız olarak yeniden bulup geliştirdi (1774); olasılık üzerine eserlerinde bunu astronomi, sigorta, demografi gibi pratik alanlara uyguladı.

Ne var ki 19. yüzyıl sonu ve 20. yüzyıl başında istatistik dünyası, frekansçı (R. A. Fisher, Neyman, Pearson) yaklaşımının baskınlığına döndü. Bayes ve "önsel olasılık" kavramı kuşkuyla bakıldı — çünkü "önsel" subjektif olarak görüldü. Bayes düşüncesi kırk küsur yıl bilim camiasında yarı-saklı kaldı.

1950'lerden başlayarak, bilgisayar gücünün artmasıyla Bayes düşüncesi tekrar yükselişe geçti. Bugün:

• Tıbbi test yorumlama: "Test pozitif çıktı, hastalığa sahip olma olasılığı?" — bu doğrudan Bayes teoremidir.
• E-posta spam filtreleri: Klasik Bayesyen sınıflandırıcılar.
• Yapay zeka ve makine öğrenmesi: Bayesyen ağlar, varyasyonel çıkarım, MCMC yöntemleri.
• Hukuk: "Bir delilin sanığın suçlu olma olasılığını ne kadar değiştirdiği" sorusunun matematiksel ifadesi (Bayes faktörü).
• Bilimsel hipotez testi: "Veriler bu hipotezi ne kadar destekliyor?"
• Yapay zekâ tahmin modelleri: "Önceden bilgim X, yeni bilgi Y, güncellenmiş tahmin Z."

20. yüzyılın sonunda matematikçi Sharon McGrayne, The Theory That Would Not Die (2011) adlı kitabında Bayes teoreminin 250 yıllık bu inişli-çıkışlı hikâyesini tüm dramıyla anlattı.

Sessiz bir miras

Thomas Bayes 7 Nisan 1761'de öldü. Tunbridge Wells'te bir kilise mezarlığında gömüldü. Sağlığında ne ünlüydü ne de matematikte iz bırakmıştı; sıradan bir kasaba papazı olarak öldü.

Bugün, Bayes, modern bilim ve teknolojinin yaygın olarak kullanılan birkaç ismi arasında. Her gün adı bilmediğimiz milyonlarca sunucuda Bayes formülü çalışıyor; tıbbi testlere "şu kadar olasılıkla hasta" cevabını veriyor; arama motorlarına önerilerimizi optimize ediyor; sürücüsüz arabaların "şu anda ne görüyorum" tahminlerini güncelliyor.

Bir kez daha matematik tarihi bize aynı dersi veriyor: bazen bir hayatın gerçek anlamı, o hayatın bitiminden çok sonra ortaya çıkar. Bir kasaba papazının çekmecesinde unutulmuş on sayfalık bir not, üç yüz yıl sonra dünyanın nasıl düşündüğünü değiştirebilir.