M
Tüm rehberlik yazıları
Yazılı Hazırlık4 Haziran 2026

Sayıların DNA’sı: 10. Sınıf Asal Çarpanlara Ayırma

Her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak tek bir biçimde yazılır — tıpkı bir DNA dizilimi gibi. Maarif Modeli 10. sınıf kapsamıyla asal çarpanlar, bölen sayısı ve bölenler toplamı; çözümlü örnek ve öz değerlendirme formuyla.

Fatih Yıldıray 9 dk okuma 4 öz değerlendirme
Asal sayılar ve çarpanlara ayırma

Asal sayılar, sayıların “yapı taşlarıdır”. Aritmetiğin Temel Teoremi der ki: 11’den büyük her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak tek bir biçimde yazılır. Bu, her sayının kendine özgü bir “DNA dizilimi” olması gibidir.

Asal Çarpan Gösterimi

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için, en küçük asaldan başlayarak böleriz:

360=23⋅32⋅5360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

Bu gösterim, sayı hakkında çok şey söyler — özellikle bölenleri hakkında.

Bölen Sayısı Formülü

Bir sayı N=pa⋅qb⋅rcN = p^{a} \cdot q^{b} \cdot r^{c} biçiminde asal çarpanlarına ayrılmışsa, pozitif bölen sayısı:

(a+1)(b+1)(c+1)(a+1)(b+1)(c+1)

Neden? Her asal çarpandan, 00’dan o çarpanın üssüne kadar bağımsızca seçim yaparız.

Karavan notu: Bölen sayısını bulmak için üsleri birer artırıp çarp. 360=23⋅32⋅51360 = 2^3\cdot 3^2\cdot 5^1 için: (3+1)(2+1)(1+1)=4⋅3⋅2=24(3+1)(2+1)(1+1) = 4\cdot 3\cdot 2 = 24 bölen. Tek tek saymaya kalkma; formül saniyede çözer.

Bölenler Toplamı

Bölenlerin toplamı da çarpanlardan bulunur. N=paN = p^{a} için bölenler toplamı 1+p+p2+⋯+pa1 + p + p^{2} + \cdots + p^{a}; birden çok asal varsa bu toplamlar çarpılır.

Çözümlü Örnek

Soru: 7272 sayısının kaç pozitif böleni vardır?

Çözüm: 72=23⋅3272 = 2^{3}\cdot 3^{2}. Bölen sayısı: (3+1)(2+1)=4⋅3=12(3+1)(2+1) = 4\cdot 3 = 12.

Neden Önemli?

Asal çarpanlara ayırma, EBOB-EKOK, bölünebilme ve kesir sadeleştirmenin ortak temelidir. Ayrıca modern şifrelemenin (RSA) kalbinde de büyük sayıların asal çarpanları yatar — yani bu konu, internet güvenliğinin bile temelindedir.

Kaynakça

  1. Millî Eğitim Bakanlığı. Maarif Modeli — 10. Sınıf Matematik Öğretim Programı (Sayılar). tymm.meb.gov.tr — Asal çarpanlar ve bölenlerin kapsamı.
  2. Hardy, G. H. & Wright, E. M. (1938). An Introduction to the Theory of Numbers. — Aritmetiğin temel teoremi.

Etiketler

Maarif ModelYazılı HazırlıkYeni Sınav Sistemi10. sınıfasal çarpanlarbölen sayısı

Öz Değerlendirme

Bu bir sınav değil — kendinle dürüst bir konuşma. Yanıtların profilinde saklanır; istediğin zaman geri dönüp güncelleyebilirsin.

1. Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma adımlarını kendi cümlenle yaz.
2. Bölen sayısı formülünü ((a+1)(b+1)…(a+1)(b+1)\dots) ezberden değil mantığıyla kurabiliyor musun?
1 = ezberliyorum, 5 = neden öyle olduğunu biliyorum.
EzberliyorumMantığını biliyorum
3. Bölen sayısı ile bölenler toplamını karıştırıyor musun?
4. Bu konuda kendine bir hedef koy.

İlgili Rehberlik Yazıları

Yazılı Hazırlık

9. Sınıfta Fonksiyon: Doğrusal ve Mutlak Değer

Fonksiyon, matematiğin “değişim dili”dir. Maarif Modeli’nde 9. sınıf fonksiyonu doğrusal ve mutlak değer fonksiyonlarıyla sınırlı — ama tam da bu sadelik, kavramı gerçekten anlamak için altın bir fırsat. Sonunda öz değerlendirme formuyla.

Yazılı Hazırlık

10. Sınıf Karesel Fonksiyon: Parabolün Hikâyesi

Bir topu havaya attığında, bir köprünün kablosuna baktığında ya da bir fıskiyenin suyunu izlediğinde aslında bir parabol görürsün. Karesel fonksiyon, doğanın en sık kullandığı eğridir. Maarif Modeli 10. sınıf kapsamıyla, sezgiden cebire. Sonunda öz değerlendirme formuyla.

Yazılı Hazırlık

10. Sınıf Karekök Fonksiyon: Karesel Fonksiyonun Aynası

Karekök fonksiyon, karesel fonksiyonun aynadaki yansımasıdır — ama bir şartla: negatif sayının karekökü olmaz, bu yüzden tanım kümesi kısıtlıdır. Maarif Modeli 10. sınıf kapsamıyla, grafikten radikal denklemlere. Sonunda öz değerlendirme formuyla.