Apéry Sabiti: Bir Matematikçinin "İmkânsız" Sandığı İspatı Yaptığı Gizemli Sayı

Sonsuz Toplamların Zarafeti

Matematikte bazı sonsuz toplamlar büyüleyici sonuçlar verir. Örneğin, tüm sayıların karelerinin terslerini toplarsanız, beklenmedik bir cevapla karşılaşırsınız:

$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

İçinde hiç daire olmayan bu toplamda pi belirir! Bu, $18.$ yüzyılda Leonhard Euler'in çözdüğü ünlü Basel problemidir. Euler durmadı; aynı toplamı dördüncü, altıncı ve diğer çift kuvvetler için de hesapladı. Hepsinde aynı zarafet vardı — cevap her zaman pi'nin bir kuvvetiyle ifade edilebiliyordu:

$1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

Bu toplamlar, Riemann zeta fonksiyonu denen yapının değerleridir: $\zeta(2) = \pi^2/6$, $\zeta(4) = \pi^4/90$ ve böyle devam eder. Çift sayılar için her şey güzeldi.

Tek Sayıların Gizemi: ζ(3)

Ama bir gizem vardı. Aynı toplamı küpler için yaparsanız, yani üçüncü kuvvetlerin terslerini toplarsanız:

$\zeta(3) = 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{27} + \frac{1}{64} + \cdots \approx 1{,}20206\dots$

Bu sayı — Apéry sabiti — çift kuvvetlerdeki kuzenlerinin aksine, pi'nin bir kuvvetiyle (ya da bilinen başka temiz bir ifadeyle) yazılamıyordu. Euler bile bu tek-kuvvetli toplamlar için zarif bir formül bulamadı. $\zeta(3)$ gizemini korudu. Üstelik daha temel bir soru bile cevapsızdı: bu sayı irrasyonel miydi (yani bir kesirle yazılamıyor muydu), yoksa gizli bir kesir miydi?

Yüzyıllar boyunca kimse bunu kanıtlayamadı. $\zeta(3)$'ün irrasyonel olduğu güçlü bir şekilde tahmin ediliyordu, ama ispat yoktu.

Beklenmedik Kahraman

İşte $1978$'de matematik dünyasını şaşırtan bir şey oldu. Roger Apéry adında, o zamanlar $61$ yaşında olan Fransız bir matematikçi — ki bu yaş, matematikte "büyük buluşların geçtiği" sanılan dönemin çok ötesiydi — $\zeta(3)$'ün irrasyonel olduğunu kanıtladığını duyurdu.

İlk tepki kuşkuydu. Apéry'nin sunumu kafa karıştırıcıydı, kullandığı teknikler eski moda ve "fazla basit" görünüyordu; bazı dinleyiciler ispatın yanlış olduğundan emindi. Ama kuşkucu matematikçiler adımları tek tek kontrol ettikçe, inanılmaz gerçek ortaya çıktı: ispat doğruydu. Apéry, modern soyut araçlar yerine, ustaca kurgulanmış klasik tekniklerle herkesin imkânsız sandığı sonuca ulaşmıştı. Sonuç, bugün onun adıyla anılıyor: Apéry teoremi.

Hâlâ Açık Kalan Gizem

Apéry'nin zaferi büyüktü, ama gizemi tam olarak kapatmadı. Bugün hâlâ bilmediğimiz çok şey var:

• $\zeta(3)$'ün irrasyonel olduğunu biliyoruz, ama "aşkın" bir sayı mı (pi gibi) yoksa değil mi — bu açık.
• Daha da çarpıcısı: $\zeta(5)$, $\zeta(7)$ gibi diğer tek kuvvetlerin irrasyonel olup olmadığını hâlâ kesin olarak bilmiyoruz! Yalnızca, bu sayıların sonsuz çoğunun irrasyonel olması gerektiği gibi kısmi sonuçlar var. Yani Apéry tek bir kapıyı araladı, ama arkasındaki koridor hâlâ büyük ölçüde karanlık.

Apéry sabitinin hikâyesi, matematikte iki güzel dersi bir arada taşır. Birincisi: en basit görünen sorular (küplerin terslerini topla) en derin gizemleri saklayabilir. İkincisi: büyük buluşların yaşı, modası ya da beklenen kahramanı yoktur — $61$ yaşında, "eski" tekniklerle, herkesi şaşırtan bir ispat pekâlâ gelebilir. Gizemin geri kalanı ise, gelecek nesil matematikçileri bekliyor.