Olmayana Ergi: “Tersini Varsay” Sanatı

Tersini Varsaymanın Gücü

Bir şeyin doğru olduğunu nasıl kanıtlarsınız? Bazen doğrudan ilerlemek çok zordur. İşte böyle durumlarda matematikçilerin en sevdiği silahlardan biri devreye girer: olmayana ergi (Latince reductio ad absurdum, yani “saçmaya indirgeme”).

Fikir şudur: ispatlamak istediğiniz şeyin tam tersini doğru kabul edersiniz. Sonra bu varsayımdan mantıklı adımlarla ilerlersiniz. Eğer bir çelişkiye (imkânsız bir sonuca) varırsanız, demek ki başlangıç varsayımınız yanlıştı — yani asıl iddianız doğrudur.

Günlük hayatta da bunu yaparız: “Eğer trene yetişseydim, şimdiye gelmiş olurdu. Gelmedi, demek ki yetişememiş.” Bu da bir tür olmayana ergidir.

Klasik Örnek: Kök 2 Bir Kesir Değildir

Tarihin en ünlü olmayana ergi ispatlarından biri, $\sqrt{2}$’nin bir kesir (rasyonel sayı) olmadığını gösterir:

$1.$ Tersini varsayalım: $\sqrt{2}$ bir kesirdir, yani $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilir ve bu kesir sadeleştirilmiş hâldedir (yani $a$ ve $b$ ortak bölene sahip değil).

$2.$ İki tarafın karesini alırsak: $2 = \frac{a^2}{b^2}$, yani $a^2 = 2b^2$.

$3.$ Demek ki $a^2$ çifttir; o hâlde $a$ da çifttir. $a$ çiftse $a = 2k$ yazabiliriz.

$4.$ Yerine koyalım: $(2k)^2 = 2b^2 \Rightarrow 4k^2 = 2b^2 \Rightarrow b^2 = 2k^2$. Demek $b^2$ de çift, yani $b$ de çift.

$5.$ Ama dur! Hem $a$ hem $b$ çift çıktı — ikisi de $2$’ye bölünüyor. Oysa başta kesrin sadeleştirilmiş olduğunu, ortak böleni olmadığını söylemiştik. Çelişki!

$6.$ Demek ki başlangıç varsayımımız ($\sqrt{2}$ bir kesirdir) yanlıştı. O hâlde $\sqrt{2}$ bir kesir değildir — irrasyoneldir.

Neden Bu Kadar Güçlü?

Olmayana ergi, doğrudan kanıtlanması çok zor olan birçok gerçeği zarif biçimde gösterir. Öklid’in asalların sonsuzluğu ispatı da (Öklid ve Asallar) bu yöntemi kullanır. Yöntem, “bir şeyin var olmadığını” veya “imkânsız olduğunu” kanıtlamada özellikle güçlüdür.

Olmayana ergi, mantığın en zarif numaralarından biridir: bir şeyi kanıtlamak için onun yanlışını hayal eder, o hayalin kendi içinde çöktüğünü gösterirsin. Bazen bir fikrin doğruluğunu görmenin en iyi yolu, yanlışının ne kadar imkânsız olduğunu görmektir.